Vinklar och parallella linjer på Högskoleprovet
Sammanfattning Vinklar och parallella linjer på Högskoleprovet
- Sidovinklar är närbelägna vinklar. Två sidovinklar vars summa är lika med 90° kallas komplementvinklar. Supplementvinklar är vinklar vars vinkelsumma är lika med 180°. Vinkelsumman av explementvinklar är 360°.
- Fyra viktiga vinklar att kunna då en linje skär två parallella linjer:
![vertikalvinklar]()
- Vertikalvinklar: v1 = v2, v3 = v4, v5 = v6 och v7 = v8
- Likbelägna vinklar: v1 = v5, v2 = v6, v3 = v7, v4 = v8
- Alternatvinklar: v1 = v6, v2 = v5, v3 = v8, v4 = v7
- Supplementvinklar (ex.): v1 + v4 = 180°, v2 + v3 = 180° v1 + v8 = 180°
Sidovinklar
Två närbelägna vinklar kallas sidovinklar.
- Två sidovinklar vars summa är lika med 90° kallas komplementvinklar. v1 + v2 = 90°.
![komplementvinkel]()
- Två sidovinklar vars summa är lika med 180° kallas supplementvinklar. v1 + v2 = 180°.
![supplementvinkel]()
- Två sidovinklar vars summa är lika med 360° kallas explementvinklar. v1 + v2 = 360°.
![explementvinkel]()
Vinklar och parallella linjer introduktion
I det här kapitlet går vi igenom de vinklar (v
1 - v
8 i figuren) som uppkommer i samband med att en linje (transversalen L i figuren) skär två
parallella linjer (L
1 och L
2 i figuren).
![vinklar och parallella linjer]()
Det är inte viktigt att kunna namnen på alla vinklar, dock är det viktigt att känna igen vinklarna och känna till villkoren för att bestämma dem.
Vertikalvinklar
![vertikalvinklar]()
Då två parallella linjer skärs av en transversal bildas åtta vinklar. Vinklarna v1 till v8 i figuren. Vinklarna v1 och v2 är exempel på vertikalvinklar. Vertikalvinklar är lika stora, dvs:
- v1 = v2
- v3 = v4
- v5 = v6
- v7 = v8
Likbelägna vinklar
![likbelägna vinklar]()
Vinklarna v1 och v2 är exempel på likbelägna vinklar. Likbelägna vinklar är lika stora.
Omvänt gäller att om likbelägna vinklar är lika stora så är linjerna L1 och L2 parallella
Alternatvinklar vid parallella linjer
![alternatvinklar]()
Vinklarna v1 och v2 samt v3 och v4 är exempel på alternatvinklar. Alternatvinklar vid parallella linjer är lika stora. Dvs v1 = v2 och v3 = v4.
Omvänt gäller att om alternatvinklarna är lika stora så är linjerna L1 och L2 parallella
Supplementvinklar
![supplementvinklar]()
Vinklar som tillsammans bildar en summa av 180° kallas supplementvinklar. Vinklarna v1 + v2 = 180°.
Exempel: Vinklar och Parallella Linjer 1
Linjerna L1 och L2 är parallella och skärs av linjen L. Bestäm vinklarna x, y, z.
![vinklar och parallella linjer 2]()
- Vi börjar med att bestämma vinkeln x. Den kända vinkeln, 46°, och vinkeln x är vertikalvinklar och vertikalvinklar är lika stora, dvs x = 46°
- Vinkeln y och vår kända vinkel, 46°, är supplementvinklar. Därmed är vinkeln y = 180° - 46° = 134°.
- Slutligen har vi vinkeln z. Vinkeln z är alternatvinkel till vår kända vinkel, 46°, dvs z = 46°. Samtidigt är vinkeln z likbelägen vinkel till vinkeln x, som vi också beräknat till 46°.
Svar: x = 46°, y = 134°, z = 46°.
Exempel: Vinklar och Parallella Linjer 2
Linjerna L1 och L2 är parallella. Bestäm vinkeln x i triangeln ABC.
![vinklar och parallella linjer 3]()
- Vinkeln 41° och vinkeln CAB är alternatvinklar och därför lika stora, dvs vinkeln CAB = 41°.
- Vinkelsumman i triangeln = 180° vilket ger:
x = 180° - 41° - 60° = 79°
Svar: x = 79°.
Exempel: Vinklar och Parallella Linjer 3
Linjerna L1 och L2 är parallella. Bestäm vinkeln x i triangeln ABC.
![vinklar och parallella linjer 4]()
- Vinkeln 48° och vinkeln CAB är alternatvinklar och lika stora, dvs vinkeln CAB = 48°.
- Vinkelsumman i triangeln är 180° vilket ger att vinkeln x = 180° - 48° - 77° = 55°.
Svar: x = 55°.
Exempel: Vinklar och Parallella Linjer 4
Linjerna L1 och L2 är parallella. I triangeln ABC är AB = BC. Bestäm vinkeln x.
![vinklar och parallella linjer 5]()
- Vinkeln 76° och vinkeln CAB är alternatvinklar och lika stora, dvs vinkeln CAB = 76°.
- Enligt texten är AB = BC och då vet vi att triangeln ABC är likbent. I likbenta trianglar är basvinklarna lika stora, dvs vinkeln BCA = vinkeln CAB = 76°.
- Vinkelsumman i triangeln är 180° vilket ger att vinkeln ABC = 180° - 2 · 76° = 28°.
- Vinkeln x och vinkeln ABC är supplementvinklar, vilket ger x = 180° - 28° = 152°
Svar: x = 152°.
