Vinklar och parallella linjer på Högskoleprovet
Sammanfattning Vinklar och parallella linjer på Högskoleprovet
- Sidovinklar är närbelägna vinklar. Två sidovinklar vars summa är lika med $90^o$ kallas komplementvinklar. Supplementvinklar är vinklar vars vinkelsumma är lika med $180^o.$ Vinkelsumman av explementvinklar är $360^o.$
- Fyra viktiga vinklar att kunna då en linje skär två parallella linjer:
![vertikalvinklar]()
- Vertikalvinklar: $v1 = v2, v3 = v4, v5 = v6$ och $v7 = v8.$
- Likbelägna vinklar: $v1 = v5, v2 = v6, v3 = v7$ och $v4 = v8.$
- Alternatvinklar: $v1 = v6, v2 = v5, v3 = v8$ och $v4 = v7.$
- Supplementvinklar (ex.): $v1 + v4 = 180^o, v2 + v3 = 180^o$ och $v1 + v8 = 180^o.$
Sidovinklar
Två närbelägna vinklar kallas sidovinklar.
- Två sidovinklar vars summa är lika med $90^o$ kallas komplementvinklar. $v_1 + v_2 = 90^o.$
![komplementvinkel]()
- Två sidovinklar vars summa är lika med $180^o$ kallas supplementvinklar. $v_1 + v_2 = 180^o.$
![supplementvinkel]()
- Två sidovinklar vars summa är lika med $360^o$ kallas explementvinklar. $v_1 + v_2 = 360^o.$
![explementvinkel]()
Vinklar och parallella linjer introduktion
I det här kapitlet går vi igenom de vinklar ($v_1$ till $v_8$ i figuren) som uppkommer i samband med att en linje (transversalen $L$ i figuren) skär två
parallella linjer ($L_1$ och $L_2$ i figuren).
![vinklar och parallella linjer]()
Det är inte viktigt att kunna namnen på alla vinklar, dock är det viktigt att känna igen vinklarna och känna till villkoren för att bestämma dem.
Vertikalvinklar
![vertikalvinklar]()
Då två parallella linjer skärs av en transversal bildas åtta vinklar. Vinklarna $v_1$ till $v_8$ i figuren. Vinklarna $v_1$ och $v_2$ är exempel på vertikalvinklar. Vertikalvinklar är lika stora, dvs:
- $v_1=v_2$
- $v_3=v_4$
- $v_5=v_6$
- $v_7=v_8$
Likbelägna vinklar
![likbelägna vinklar]()
Vinklarna $v_1$ och $v_2$ är exempel på likbelägna vinklar. Likbelägna vinklar är lika stora.
Omvänt gäller att om likbelägna vinklar är lika stora så är linjerna $L_1$ och $L_2$ parallella
Alternatvinklar vid parallella linjer
![alternatvinklar]()
Vinklarna $v_1$ och $v_2$ samt $v_3$ och $v_4$ är exempel på alternatvinklar. Alternatvinklar vid parallella linjer är lika stora. Dvs $v_1 = v_2$ och $v_3 = v_4.$
Omvänt gäller att om alternatvinklarna är lika stora så är linjerna $L_1$ och $L_2$ parallella
Supplementvinklar
![supplementvinklar]()
Vinklar som tillsammans bildar en summa av $180^o$ kallas supplementvinklar. Vinklarna $v_1 + v_2 = 180^o.$
Exempel: Vinklar och Parallella Linjer 1
Linjerna $L_1$ och $L_2$ är parallella och skärs av linjen $L.$ Vad är vinklarna $\boldsymbol{x, y, z?}$
![vinklar och parallella linjer 2]()
- Vi börjar med att bestämma vinkeln $x.$ Den kända vinkeln, $46^o,$ och vinkeln $x$ är vertikalvinklar och vertikalvinklar är lika stora, dvs $x = 46^o.$
- Vinkeln $y$ och vår kända vinkel, $46^o,$ är supplementvinklar. Därmed är vinkeln $y = 180^o - 46^o = 134^o.$
- Slutligen har vi vinkeln $z.$ Vinkeln $z$ är alternatvinkel till vår kända vinkel, $46^o,$ dvs $z = 46^o.$ Samtidigt är vinkeln $z$ likbelägen vinkel till vinkeln $x,$ som vi också beräknat till $46^o.$
Svar: $x = 46^o, y = 134^o, z = 46^o.$
Exempel: Vinklar och Parallella Linjer 2
Linjerna $L_1$ och $L_2$ är parallella. Vad är vinkeln $\boldsymbol{x}$ i triangeln $\boldsymbol{ABC?}$
![vinklar och parallella linjer 3]()
- Vinkeln $41^o$ och vinkeln $CAB$ är alternatvinklar och därför lika stora, dvs vinkeln $CAB = 41^o.$
- Vinkelsumman i triangeln $= 180^o;$ vilket ger:
$x = 180^o - 41^o - 60^o = 79^o$
Svar: $x = 79^o.$
Exempel: Vinklar och Parallella Linjer 3
Linjerna $L_1$ och $L_2$ är parallella. Vad är vinkeln $\boldsymbol{x}$ i triangeln $\boldsymbol{ABC?}$
![vinklar och parallella linjer 4]()
- Vinkeln $48^o$ och vinkeln $CAB$ är alternatvinklar och lika stora, dvs vinkeln $CAB = 48^o.$
- Vinkelsumman i triangeln är $180^o$ vilket ger att vinkeln $x = 180^o - 48^o - 77^o = 55^o.$
Svar: $x = 55^o.$
Exempel: Vinklar och Parallella Linjer 4
Linjerna $L_1$ och $L_2$ är parallella. I triangeln $ABC$ är $AB = BC.$ Vad är vinkeln $\boldsymbol{x?}$
![vinklar och parallella linjer 5]()
- Vinkeln $76^o$ och vinkeln $CAB$ är alternatvinklar och lika stora, dvs vinkeln $CAB = 76^o.$
- Enligt texten är $AB = BC$ och då vet vi att triangeln $ABC$ är likbent. I likbenta trianglar är basvinklarna lika stora, dvs vinkeln $BCA =$ vinkeln $CAB = 76^o.$
- Vinkelsumman i triangeln är $180^o$ vilket ger att vinkeln $ABC = 180^o - 2 \cdot 76^o = 28^o.$
- Vinkeln $x$ och vinkeln $ABC$ är supplementvinklar, vilket ger $x = 180^o - 28^o = 152^o.$
Svar: $x = 152^o.$
Exempel: Vinklar och Parallella Linjer 5
Linjerna $L_1$, $L_2$ och $L_3$ är parallella. Vad är vinkeln $\boldsymbol{x?}$
![vinklar och parallella linjer 5]()
Lösning:
![vinklar och parallella linjer 5]()
- Vi drar ut ena sidan på den lilla triangeln ner till $L_3$ och markerar vinkeln $y.$ Vinkel $y$ är likbelägen vinkel $x$ och därför är de lika stora.
- Den inre vinkeln $CBD$ och vinkeln $107^o$ är supplementvinklar och vi kan beräkna den inre vinkeln $CBD:$
$CBD=180^o-107^o=73^o.$
- Med triangelns vinkelsumma $=180^o$ kan vi beräkna den inre vinkeln $CDB:$
$CDB=180^o-32^o-73^o=75^o.$
- Slutligen konstaterar vi att $y$ och den inre vinkeln $CDB$ är supplementvinklar:
$y=x=180^o-75^o=105^o.$
Svar: $x = 105^o.$
Exempel: Vinklar och Parallella Linjer 6
Linjerna $L_1$ och $L_2$ är parallella och triangeln $ABC$ är likbent. Vad är vinkeln $\boldsymbol{x?}$
![vinklar och parallella linjer 5]()
Lösning:
![vinklar och parallella linjer 5]()
- Vi markerar vinkeln $y$ som är supplementvinkel till vinkeln $148^o.$ $y=180^o-148^o=32^o.$
- Vinkeln $y$ har en alternatvinkel mot $L_1$ vilket vi kan utnyttja. Vinkeln $ACB$ utgör nämligen supplementvinklar tillsammans med $y$ och $110^o$: $ACB =180^o-y-110^o=180^o-32^o-110^o=38^o.$
- Enligt texten är $ABC$ likbent. Vi har beräknat toppvinkeln i denna till $38^o$. $x$ bildar tillsammans med vinkeln $ABC$ basvinklar. Basvinklar i en likbent triangel är lika stora, vilket ger oss: $2x=180^o-38^o\Rightarrow x=\frac{180^o-38^o}{2}=71^o.$
Svar: $x = 71^o.$
