Vinklar och parallella linjer på Högskoleprovet

Linjära ekvationer Olikheter Procent och promille Talföljder Räta linjens ekvation Enheter och prefix Omkrets, area och volym Medelvärde, median… Tabeller

Andragradsekvationer Bråk och decimaler Räkneregler Funktioner Fyrhörningar Trianglar Sannolikhet Kartor

Ekvationer i bråkformat Potensregler Rötter Potens-/exponentialfunktioner Cirkeln Likformighet Vinklar och parallella linjer Diagram

Lär dig lösa uppgifter om vinklar och parallella linjer på högskoleprovet. Vi går igenom vertikalvinklar, alternatvinklar, likbelägna vinklar och supplementvinklar och visar med tydliga exempel hur du bestämmer okända vinklar.

Sammanfattning Vinklar och parallella linjer på Högskoleprovet

Sidovinklar är närbelägna vinklar. Två sidovinklar vars summa är lika med $90^o$ kallas komplementvinklar. Supplementvinklar är vinklar vars vinkelsumma är lika med $180^o.$ Vinkelsumman av explementvinklar är $360^o.$
Fyra viktiga vinklar att kunna då en linje skär två parallella linjer:

Åtta vinklar som bildas när en transversal skär två parallella linjer

Vertikalvinklar: $v1 = v2, v3 = v4, v5 = v6$ och $v7 = v8.$
Likbelägna vinklar: $v1 = v5, v2 = v6, v3 = v7$ och $v4 = v8.$
Alternatvinklar: $v1 = v6, v2 = v5, v3 = v8$ och $v4 = v7.$
Supplementvinklar (ex.): $v1 + v4 = 180^o, v2 + v3 = 180^o$ och $v1 + v8 = 180^o.$

Komplementvinklar, supplementvinklar och explementvinklar

Vinklar kan beskrivas utifrån hur stor deras sammanlagda vinkelsumma är. Här går vi igenom komplementvinklar, supplementvinklar och explementvinklar.

Komplementvinklar

Två sidovinklar vars summa är lika med $90^o$ kallas komplementvinklar.

Två komplementvinklar vars vinkelsumma är 90 grader

$v_1 + v_2 = 90^o.$

Supplementvinklar

Två sidovinklar vars summa är lika med $180^o$ kallas supplementvinklar.

Två supplementvinklar vars vinkelsumma är 180 grader

$v_1 + v_2 = 180^o.$

Explementvinklar

Två sidovinklar vars summa är lika med $360^o$ kallas explementvinklar.

Två explementvinklar vars vinkelsumma är 360 grader

$v_1 + v_2 = 360^o.$

Vinklar vid parallella linjer

När en linje skär två parallella linjer bildas flera vinklar som har bestämda relationer till varandra. Linjen som skär de parallella linjerna kallas en transversal. I figuren nedan är $L$ en transversal som skär de parallella linjerna $L_1$ och $L_2$.

Vinklar och parallella linjer

För att lösa uppgifter behöver du framför allt kunna känna igen vertikalvinklar, likbelägna vinklar och alternatvinklar samt veta vilka vinklar som tillsammans är 180°.

Vertikalvinklar

När två linjer skär varandra bildas två par vertikalvinklar. Vertikalvinklar ligger mitt emot varandra i skärningspunkten och är alltid lika stora:

Vertikalvinklar som bildas när två linjer skär varandra

$v_1=v_2$
$v_3=v_4$
$v_5=v_6$
$v_7=v_8$

Likbelägna vinklar

När en transversal skär två parallella linjer är alternatvinklar lika stora. Alternatvinklar ligger på motsatta sidor om transversalen.

Omvänt gäller att om likbelägna vinklar är lika stora så är linjerna $L_1$ och $L_2$ parallella

Likbelägna vinklar vid två parallella linjer och en transversal

$v_1=v_2$

Alternatvinklar

När en transversal skär två parallella linjer är alternatvinklar lika stora. Alternatvinklar ligger på motsatta sidor om transversalen.

Omvänt gäller att om alternatvinklarna är lika stora så är linjerna $L_1$ och $L_2$ parallella

Alternatvinklar vid två parallella linjer

$v_1=v_2$
$v_3=v_4$

Supplementvinklar

Två vinklar vars summa är $180°$ kallas supplementvinklar. I figuren är $v_1$ och $v_2$ supplementvinklar och dess vinkelsumma är alltså $180^o.$

Supplementvinklar v1 och v2 vid parallella linjer

$v_1 + v_2 = 180°.$

Exempel: Vinklar och Parallella Linjer 1

Linjerna $L_1$ och $L_2$ är parallella och skärs av linjen $L.$ Vad är vinklarna $\boldsymbol{x, y, z?}$

Parallella linjer med vinkeln 46 grader och de okända vinklarna x, y och z

Vi börjar med att bestämma vinkeln $x.$ Den kända vinkeln, $46^o,$ och vinkeln $x$ är vertikalvinklar och därför lika stora, dvs $x = 46^o.$
Vinkeln $y$ och vår kända vinkel, $46^o,$ är supplementvinklar. Därmed är vinkeln $y = 180^o - 46^o = 134^o.$
Slutligen har vi vinkeln $z.$ Vinkeln $z$ är alternatvinkel till vår kända vinkel, $46^o,$ dvs $z = 46^o.$ Samtidigt är vinkeln $z$ likbelägen vinkel till vinkeln $x,$ som vi också beräknat till $46^o.$

Svar: $x = 46^o, y = 134^o, z = 46^o.$

Exempel: Vinklar och Parallella Linjer 2

Linjerna $L_1$ och $L_2$ är parallella. Vad är vinkeln $\boldsymbol{x}$ i triangeln $\boldsymbol{ABC?}$

Triangel mellan två parallella linjer med vinklarna 41 och 60 grader samt okänd vinkel x

Vinkeln $41^o$ och vinkeln $CAB$ är alternatvinklar och därför lika stora, dvs vinkeln $CAB = 41^o.$
Vinkelsumman i triangeln $= 180^o;$ vilket ger:
$x = 180^o - 41^o - 60^o = 79^o$

Svar: $x = 79^o.$

Exempel: Vinklar och Parallella Linjer 3

Linjerna $L_1$ och $L_2$ är parallella. Vad är vinkeln $\boldsymbol{x}$ i triangeln $\boldsymbol{ABC?}$

Triangel som skär två parallella linjer med vinklarna 48 och 77 grader samt okänd vinkel x

Vinkeln $48^o$ och vinkeln $CAB$ är alternatvinklar och lika stora, dvs vinkeln $CAB = 48^o.$
Vinkelsumman i triangeln är $180^o$ vilket ger att vinkeln $x = 180^o - 48^o - 77^o = 55^o.$

Svar: $x = 55^o.$

Exempel: Vinklar och Parallella Linjer 4

Linjerna $L_1$ och $L_2$ är parallella. I triangeln $ABC$ är $AB = BC.$ Vad är vinkeln $\boldsymbol{x?}$

Likbent triangel mellan två parallella linjer med vinkeln 76 grader och okänd vinkel x

Vinkeln $76^o$ och vinkeln $CAB$ är alternatvinklar och lika stora, dvs vinkeln $CAB = 76^o.$
Enligt texten är $AB = BC$ och då vet vi att triangeln $ABC$ är likbent. I likbenta trianglar är basvinklarna lika stora, dvs vinkeln $BCA =$ vinkeln $CAB = 76^o.$
Vinkelsumman i triangeln är $180^o$ vilket ger att vinkeln $ABC = 180^o - 2 \cdot 76^o = 28^o.$
Vinkeln $x$ och vinkeln $ABC$ är supplementvinklar, vilket ger $x = 180^o - 28^o = 152^o.$

Svar: $x = 152^o.$

Exempel: Vinklar och Parallella Linjer 5

Linjerna $L_1$, $L_2$ och $L_3$ är parallella. Vad är vinkeln $\boldsymbol{x?}$

Tre parallella linjer med en triangel, vinklarna 32 och 107 grader samt okänd vinkel x

Lösning:

Hjälplinje från triangeln som visar sambandet mellan vinklarna x och y

Vi dförlänger ena sidan $AC$ till den skär $L_3$ i punkten $D$ och markerar vinkeln $y.$ Vinkel $y$ är likbelägen vinkel $x$ och därför är de lika stora.
Den inre vinkeln $CBD$ och vinkeln $107^o$ är supplementvinklar och vi kan beräkna den inre vinkeln $CBD:$
$CBD=180^o-107^o=73^o.$
Med triangelns vinkelsumma $=180^o$ kan vi beräkna den inre vinkeln $CDB:$
$CDB=180^o-32^o-73^o=75^o.$
Slutligen konstaterar vi att $y$ och den inre vinkeln $CDB$ är supplementvinklar:
$y=x=180^o-75^o=105^o.$

Svar: $x = 105^o.$

Exempel: Vinklar och Parallella Linjer 6

Linjerna $L_1$ och $L_2$ är parallella och triangeln $ABC$ är likbent. Vad är vinkeln $\boldsymbol{x?}$

Likbent triangel mellan två parallella linjer med vinklarna 148 och 110 grader samt okänd vinkel x

Lösning:

Vinkelkonstruktion som visar hjälpvinkeln y vid en likbent triangel mellan parallella linjer

Vi markerar vinkeln $y$ som är supplementvinkel till vinkeln $148^o.$ $y=180^o-148^o=32^o.$
Vinkeln $y$ har en alternatvinkel mot $L_1$ vilket vi kan utnyttja. Vinkeln $ACB$ utgör nämligen supplementvinklar tillsammans med $y$ och $110^o$: $ACB =180^o-y-110^o=$
$=180^o-32^o-110^o=38^o.$
Enligt texten är $ABC$ likbent. Vi har beräknat toppvinkeln i denna till $38^o$. $x$ bildar tillsammans med vinkeln $ABC$ basvinklar. Basvinklar i en likbent triangel är lika stora, vilket ger oss: $2x=180^o-38^o\Rightarrow x=\frac{180^o-38^o}{2}=71^o.$

Svar: $x = 71^o.$