Procent och promille på Högskoleprovet

Linjära ekvationer Olikheter Procent och promille Talföljder Räta linjens ekvation Enheter och prefix Omkrets, area och volym Medelvärde, median… Tabeller

Andragradsekvationer Bråk och decimaler Räkneregler Funktioner Fyrhörningar Trianglar Sannolikhet Kartor

Ekvationer i bråkformat Potensregler Rötter Potens-/exponentialfunktioner Cirkeln Likformighet Vinklar och parallella linjer Diagram

Procent och promille förekommer i många matematikuppgifter på högskoleprovet. Här går vi igenom procent, promille och ppm, andelen, delen och det hela, procentuella förändringar, förändringsfaktor och index med tydliga förklaringar och exempel.

Sammanfattning Procent och promille på Högskoleprovet

Procent = $\frac{1}{100}$ Promille = $\frac{1}{1\;000}$ ppm = $\frac{1}{1\;000\;000}$
andelen$=\frac{\text{delen}}{\text{det hela}}$
procentuell förändring$=\frac{\text{förändringen}}{\text{ursprungligt värde}}$
nytt värde = ursprungligt värde $\cdot$ förändringsfaktorn
index$=\frac{\text{det aktuella årets värde}}{\text{basårets värde}} \cdot 100$

Procent, promille och ppm

En procent betyder en hundradel och visas med procenttecknet $\text{%.}$

$1\text{%} = 0,01 =$
$= \frac{1}{100}=\frac{1}{10^2}=1 \cdot 10^{-2}$

En promille betyder en tusendel och visas med promilletecknet $\text{‰.}$

$1\text{‰} = 0,001 =$
$= \frac{1}{1000}=\frac{1}{10^3}=1 \cdot 10^{-3} = 0,1\text{%}$

En ppm betyder en miljonte del (parts per million)

$1\text{ ppm} = 0,000001 =$
$= \frac{1}{1000000}=\frac{1}{10^6}=1 \cdot 10^{-6} = 0,0001\text{%}$

Exempel: Omvandling av Procent, Promille och ppm

Skriv $\boldsymbol{500}$ $\textbf{ppm}$ som promille och procent

$500 \text{ ppm} = 500 / 1 000 000 =$

$= 0,0005 = 0,5\text{‰} = 0,05\text{%}$

Svar: $0,5\text{‰}$ resp. $0,05\text{%}$

Procenträkning

Procent och bråk är i själva verket multiplikationer och då spelar ordningen av faktorer ingen roll, exempelvis:

$36\text{% av 25} = 25\text{% av 36}=\frac14\cdot 36=9$
$16\text{% av 75} = 75\text{% av 16}=\frac34\cdot16=12$

Exempel: Procenträkning

Beräkna:

$12\text{%}$ av $25$
$14\text{%}$ av $50$
$19\text{%}$ av $100$
$80\text{%}$ av $25$

$12\text{%}$ av $25 = 25\text{%}$ av $12 = 0,25 \cdot 12 = \frac{12}{4}=3$
$14\text{%}$ av $50 = 50\text{%}$ av $14 = 0,5 \cdot 14 = \frac{14}{2}=7$
$19\text{%}$ av $100 = 100\text{%}$ av $19 = 1 \cdot 19 = \frac{19}{1}=19$
$80\text{%}$ av $25 = 25\text{%}$ av $80 = 0,25 \cdot 80 = \frac{80}{4}=20$

Svar: a) $3$ b) $7$ c) $19$ d) $20$

Exempel: Procenträkning 2

Innehållet i en flaska består av ingredienserna $A\text{ (40%)}$, $B\text{ (25%)}$ och $C\text{ (35%)}.$ Hälften av innehållet i flaskan hälls ut och ersätts enbart av $C.$ Vad är andelen $\boldsymbol{C}$ i flaskan nu?

Vi kallar flaskans volym $V$. Från början har vi $V_A=0,4V$, $V_B=0,25V$, $V_C=0,35V.$

Enligt texten hälls hälften av $V$ bort och vi har då $V_A=0,5\cdot0,4V=0,2V$, $V_B=0,5\cdot0,25V=0,125V$ och $V_C=0,5\cdot0,35V=0,175V.$

Därefter fyller vi på med enbart $C$. $V_A$ och $V_B$ påverkas inte däremot är $V_C$ nu $0,175V+0,5V=0,675V.$ Vilket är samma som $\text{67,5%}.$

Svar: $\text{67,5%}$

Andelen, delen och det hela

Allmänt gäller:

$andelen=\frac{delen}{det\:hela}$

Andelen beskriver hur stor delen är i förhållande till det hela och kan exempelvis uttryckas i procent, promille eller ppm. Delen är den mängd vi jämför med totalen, medan det hela är den totala mängden.

Exempel: Andelen, delen och det hela

I ett val till elevrådet röstade en skolklass med trettio elever fram två elever och en ersättare som skulle företräda klassen.

Annika fick tolv röster
Boris fick sex röster
Cecilia fick tre röster

Uttryck i procent andelen röster som var och en av Annika, Boris och Cecilia fick.

Uppgift med andelen, delen och det hela

Andelen som röstade på Annika =
$=\frac{12}{30}=\frac{12/6}{30/6}=\frac25 = 0,4 = 40\text{%}$
Andelen som röstade på Boris =
$=\frac{6}{30}=\frac{6/6}{30/6}=\frac15 = 0,2 = 20\text{%}$
Andelen som röstade på Cecilia =
$=\frac{3}{30}=\frac{3/3}{30/3}=\frac{1}{10} = 0,1 = 10\text{%}$

Svar: Annika fick $40\text{%}$, Boris fick $20\text{%}$ och Cecilia fick $10\text{%}$ av rösterna.

Det hela uttryckt i procent är lika med $100\text{%,}$ vilket vi visar i nästa exempel.

Exempel: Andelen, delen och det hela 2

Hur många procent av rösterna fick någon annan/andra elev(er) i klassen?

Det finns två sätt att räkna ut detta:

Vi vet att det hela är lika med $100\text{%}$ av rösterna. Delen, dvs de röster som Annika, Boris och Cecilia fick ihop $= 40\text{%} + 20\text{%} + 10\text{%} = 70\text{%}$ av rösterna. Då kan vi räkna ut andelen röster som övriga elever fick i klassen $100\text{%} - 70\text{%} = 30\text{%}$ av rösterna.
Antal röster som Annika, Boris och Cecilia fick $= 12 + 6 + 3 = 21$ röster. Övriga elever fick då $30$ röster $- 21$ röster $= 9$ röster. Andel röster som övriga elever fick $= \frac{9}{30}=\frac{9/3}{30/3}=\frac{3}{10}=0,3=30\text{%}$

Svar: Övriga elever fick $30\text{%}$ av rösterna.

Procentuella förändringar

Då vi räknar med procentuella förändringar använder vi följande formel:

$\text{procentuell förändring}=\frac{\text{nytt värde}-\text{ursprungligt värde}}{\text{ursprungligt värde}}$

Procentuell förändring kan vara både positiv och negativ. En positiv förändring innebär en ökning och en negativ förändring innebär en minskning. För att beräkna ett nytt värde använder vi förändringsfaktorn.

$\text{nytt värde}=\text{ursprungligt värde}\cdot\text{förändringsfaktorn}$

Vid procentuella ökningar beräknar vi förändringsfaktorn genom att addera ökningen med 100%. Förändringsfaktorn vid en ökning med $20\text{%} = 100\text{%} + 20\text{%} = 120\text{%} = 1,2.$ På samma sätt beräknar vi procentuella minskningar genom att subtrahera minskningen från $100\text{%.}$ Förändringsfaktorn vid en minskning med $20\text{%} = 100\text{%} - 20\text{%} = 1 - 0,2 = 0,8.$

Vid upprepade procentuella förändringar multiplicerar vi förändringsfaktorerna med varandra. En ökning med 10% tre gånger ger den sammanlagda förändringsfaktorn 1,1³.

De procentuella förändringarna behöver inte vara lika stora. Om ett värde exempelvis först ökar med 10% och därefter med 20% multipliceras förändringsfaktorerna: 1,1 · 1,2 = 1,32. Det motsvarar en total ökning med 32%.

Exempel: Procentuell Förändring

I januari arbetade Kalle totalt $40$ timmar. I februari arbetade han $32$ timmar. Med hur många procent förändrades Kalles arbetstid i februari?

Exempel med procentuell förändring

Procentuell förändring $= \frac{32-40}{40}= -0,2 = -20\text{%}$

Svar: $-20\text{%}$, dvs den minskade med $20\text{%.}$

Exempel: Procentuell Förändring 2

Olles personliga rekord i höjdhopp 2019 var $1,50\, m.$ 2020 förbättrade han sig med $10\text{%}$ och 2021 med ytterligare $20\text{%.}$ Hur högt hoppade Olle 2021?

Procentuell förändring

Höjden som Olle hoppade 2021 $= 1,1 \cdot 1,2 \cdot 1,5 = 1,98\,m.$

Svar: 2021 hoppade han $1,98\, m.$

Index

När man räknar med index beskriver man en utveckling i förhållande till en specifik startpunkt, ofta kallad basår. $$\text{Index}=\frac{\text{aktuellt värde}}{\text{basvärde}}\cdot100$$

Index vid basåret sätts till $100$. Om index är större än $100$ vid tidpunkten för jämförelse så har det vi jämför ökat och om index är mindre än $100$ så har det vi jämför minskat.

Om vi ska beräkna hur mycket $100$ kronor från 1970 motsvarar i dagens penningvärde använder vi indexberäkning. Prisutveckling över tiden och det så kallade konsumentprisindexet är ett annat exempel.

Exempel: Index

När Sonja startade sin målerifirma 2010 debiterade hon $600\, kr/tim.$ Index för 2010 $= 150,$ index för 2020 $= 300.$Beräkna hur mycket hon ska debitera 2020.

Indexberäkning

Förhållandet mellan index 2020 och index 2010 är:

$\frac{\text{Index 2020}}{\text{Index 2010}} =\frac{300}{150}=2$

Timpriset 2020 blir därför:

$600\,kr/tim \cdot 2 = 1\,200\,kr/tim$

Timpriset har alltså blivit 200 % av det ursprungliga priset, vilket motsvarar en ökning med 100 %.

Svar: $1 200\, kr/tim.$