Procent och promille på Högskoleprovet

Sammanfattning Procent och promille på Högskoleprovet

Procent = $\frac{1}{100}$ Promille = $\frac{1}{1\;000}$ ppm = $\frac{1}{1\;000\;000}$
andelen$=\frac{\text{delen}}{\text{det hela}}$
procentuell förändring$=\frac{\text{förändringen}}{\text{ursprungligt värde}}$
förändringen = ursprungligt värde $\cdot$ förändringsfaktorn
index$=\frac{\text{det aktuella årets värde}}{\text{basårets värde}}$

Procent, promille och ppm

En procent betyder en hundradel och visas med procenttecknet $\text{%.}$

$1\text{%} = 0,01 =$
$= \frac{1}{100}=\frac{1}{10^2}=1 \cdot 10^{-2}$

En promille betyder en tusendel och visas med promilletecknet $\text{‰.}$

$1\text{‰} = 0,001 =$
$= \frac{1}{1000}=\frac{1}{10^3}=1 \cdot 10^{-3} = 0,1\text{%}$

En ppm betyder en miljonte del (parts per million).

$1\text{ ppm} = 0,000001 =$
$= \frac{1}{1000000}=\frac{1}{10^6}=1 \cdot 10^{-6} = 0,0001\text{%}$

Exempel: Omvandling av Procent, Promille och ppm

Skriv $\boldsymbol{500}$ $\textbf{ppm}$ som promille och procent

$500\text{ ppm} = 500 \cdot 10^{-6} = 5 \cdot 10^{-4}$

Först omvandlar vi $500\text{ ppm}$ till promille:

$\frac{500\;ppm}{1\;promille} = \frac{5 \cdot 10^{-4}}{1 \cdot 10^{-3}} =$

$=5\cdot 10^{-4 --3} = 5 \cdot 10^{-1}= 0,5$‰

På samma sätt omvandlar vi $500\text{ ppm}$ till procent:

$\frac{500\;ppm}{1\;procent} = \frac{5 \cdot 10^{-4}}{1 \cdot 10^{-2}} =$

$=5\cdot 10^{-4 --2} = 5 \cdot 10^{-2}=0,05$%

Svar: $0,5\text{‰}$ resp. $0,05\text{%}$

Procenträkning

Procent och bråk är i själva verket multiplikationer och då spelar ordningen av faktorer ingen roll, exempelvis:

$36\text{% av 25} = 25\text{% av 36}=\frac14\cdot 36=9$
$16\text{% av 75} = 75\text{% av 16}=\frac34\cdot16=12$

Exempel: Procenträkning

Beräkna:

$12\text{%}$ av $25$
$14\text{%}$ av $50$
$19\text{%}$ av $100$
$80\text{%}$ av $25$

$12\text{%}$ av $25 = 25\text{%}$ av $12 = 0,25 \cdot 12 = \frac{12}{4}=3$
$14\text{%}$ av $50 = 50\text{%}$ av $14 = 0,5 \cdot 14 = \frac{14}{2}=7$
$19\text{%}$ av $100 = 100\text{%}$ av $19 = 1 \cdot 19 = \frac{19}{1}=19$
$80\text{%}$ av $25 = 25\text{%}$ av $80 = 0,25 \cdot 80 = \frac{80}{4}=20$

Svar: a) $3$ b) $7$ c) $19$ d) $20$

Exempel: Procenträkning 2

Innehållet i en flaska består av ingredienserna $A\text{ (40%)}$, $B\text{ (25%)}$ och $C\text{ (35%)}.$ Hälften av innehållet i flaskan hälls ut och ersätts enbart av $C.$ Vad är andelen $\boldsymbol{C}$ i flaskan nu?

Vi kallar flaskans volym $V$. Från början har vi $V_A=0,4V$, $V_B=0,25V$, $V_C=0,35V.$

Enligt texten hälls hälften av $V$ bort och vi har då $V_A=0,5\cdot0,4V=0,2V$, $V_B=0,5\cdot0,25V=0,125V$ och $V_C=0,5\cdot0,35V=0,175V.$

Därefter fyller vi på med enbart $C$. $V_A$ och $V_B$ påverkas inte däremot är $V_C$ nu $0,175V+0,5V=0,675V.$ Vilket är samma som $\text{67,5%}.$

Svar: $\text{67,5%}$

Andelen, delen och det hela

Allmänt kan vi skriva $$andelen=\frac{delen}{det\: hela}$$ Andelen är det vi vill beräkna (ofta uttryckt i procent, promille eller ppm). Delen beskriver det vi vill jämföra. Det hela är totalen av det vi jämför mot. Procenträkning är samma sak som räkning med bråk, med skillnaden att vi uttrycker andelen i procent.

Exempel: Andelen, delen och det hela

I ett val till elevrådet röstade en skolklass med trettio elever fram två elever och en ersättare som skulle företräda klassen.

Annika fick tolv röster
Boris fick sex röster
Cecilia fick tre röster

Uttryck i procent andelen röster som var och en av Annika, Boris och Cecilia fick.

andelen-delen-det-hela

Andelen som röstade på Annika =
$=\frac{12}{30}=\frac{12/6}{30/6}=\frac25 = 0,4 = 40\text{%}$
Andelen som röstade på Boris =
$=\frac{6}{30}=\frac{6/6}{30/6}=\frac15 = 0,2 = 20\text{%}$
Andelen som röstade på Cecilia =
$=\frac{3}{30}=\frac{3/3}{30/3}=\frac{1}{10} = 0,1 = 10\text{%}$

Svar: Annika fick $40\text{%}$%, Boris fick $20\text{%}$ och Cecilia fick $10\text{%}$ av rösterna.

Det hela uttryckt i procent är lika med $100\text{%,}$ vilket vi visar i nästa exempel.

Exempel: Andelen, delen och det hela 2

Hur många procent av rösterna fick någon annan/andra elev(er) i klassen?

Det finns två sätt att räkna ut detta:

Vi vet att det hela är lika med $100\text{%}$ av rösterna. Delen, dvs de röster som Annika, Boris och Cecilia fick ihop $= 40\text{%} + 20\text{%} + 10\text{%} = 70\text{%}$ av rösterna. Då kan vi räkna ut andelen röster som övriga elever fick i klassen $100\text{%} - 70\text{%} = 30\text{%}$ av rösterna.
Antal röster som Annika, Boris och Cecilia fick $= 12 + 6 + 3 = 21$ röster. Övriga elever fick då $30$ röster $- 21$ röster $= 9$ röster. Andel röster som övriga elever fick $= \frac{9}{30}=\frac{9/3}{30/3}=\frac{3}{10}=0,3=30\text{%}$

Svar: Övriga elever fick $30\text{%}$ av rösterna.

Procentuella förändringar

Då vi räknar med procentuella förändringar använder vi följande formel: $$\text{procentuell förändring}=\frac{\text{förändringen}}{\text{ursprungligt värde}}$$ Procentuell förändring kan både vara positiv och negativ (priset går upp vs. priset går ner). Procentuella förändringar beräknar vi genom multiplikation av vårt ursprungsvärde med förändringsfaktorn.

förändringen = ursprungligt värde $\cdot$ förändringsfaktorn

Vid procentuella ökningar beräknar vi förändringsfaktorn genom att addera ökningen med 100%. Förändringsfaktorn vid en ökning med $20\text{%} = 100\text{%} + 20\text{%} = 120\text{%} = 1,2.$ På samma sätt beräknar vi procentuella minskningar genom att subtrahera minskningen från $100\text{%.}$ Förändringsfaktorn vid en minskning med $20\text{%} = 100\text{%} - 20\text{%} = 1 - 0,2 = 0,8.$

Upprepade procentuella förändringar då ursprungsvärdet inte förändras kan vi beräkna genom att multiplicera ursprungsvärdet med produkten av förändringsfaktorerna. Förändringsfaktorn vid en ökning med $10\text{%}$ tre gånger är lika med $(1 + 0,1)^3 = 1,1^3$ och på samma sätt är förändringsfaktorn vid en minskning med $20\text{%}$ tre gånger lika med $(1-0,2)^3=0,8^3$.

Upprepade procentuella förändringar behöver inte nödvändigtvis vara lika stora. Om inte ursprungsvärdet förändras kan vi multiplicera var och en av de procentuella förändringarna vilket vi ger exempel på nedan.

Exempel: Procentuell Förändring

I januari arbetade Kalle totalt $40$ timmar. I februari arbetade han $32$ timmar. Med hur många procent förändrades Kalles arbetstid i februari?

procent-och-promille-arbetstid

Procentuell förändring $= \frac{32-40}{40}= -0,2 = -20\text{%}$

Svar: $-20\text{%}$, dvs den minskade med $20\text{%.}$

Exempel: Procentuell Förändring 2

Olles personliga rekord i höjdhopp 2019 var $1,50\, m.$ 2020 förbättrade han sig med $10\text{%}$ och 2021 med ytterligare $20\text{%.}$ Hur högt hoppade Olle 2021?

procent-och-promille-höjdhopp

Höjden som Olle hoppade 2021 $= 1,1 \cdot 1,2 \cdot 1,5 = 1,98\,m.$

Svar: 2021 hoppade han $1,98\, m.$

Index

När man räknar med index beskriver man en utveckling i förhållande till en specifik startpunkt, ofta kallad basår. $$Index=\frac{det\: aktuella\: årets\: värde}{basårets\: värde}$$

Index vid basåret sätts till $100$. Om index är större än $100$ vid tidpunkten för jämförelse så har det vi jämför ökat och om index är mindre än $100$ så har det vi jämför minskat.

Om vi ska beräkna hur mycket $100$ kronor från 1970 motsvarar i dagens penningvärde använder vi indexberäkning. Prisutveckling över tiden och det så kallade konsumentprisindexet är ett annat exempel.

Exempel: Index

När Sonja startade sin målerifirma 2010 debiterade hon $600\, kr/tim.$ Index för 2010 $= 150,$ index för 2020 $= 300.$Beräkna hur mycket hon ska debitera 2020.

procent-och-promille-måleri

Ökning av timpriset $=$
$= \frac{Index\: 2020}{Index\: 2010} = \frac{300}{150}=2=200$%

Timpriset 2020 $=$
$= 600\, kr/tim \cdot 2 = 1 200\, kr/tim$

Svar: $1 200\, kr/tim.$