Procent och promille på Högskoleprovet

Sammanfattning Procent och promille på Högskoleprovet

Procent = $\frac{1}{100}$ Promille = $\frac{1}{1\;000}$ ppm = $\frac{1}{1\;000\;000}$
$\text{andelen}=\frac{\text{delen}}{\text{det hela}}$
$\text{procentuell förändring}=\frac{\text{förändringen}}{\text{ursprungligt värde}}$
förändringen = ursprungligt värde $\cdot$ förändringsfaktorn
$\text{index}=\frac{\text{det aktuella årets värde}}{\text{basårets värde}}$

Procent, promille och ppm

En procent betyder en hundradel och visas med procenttecknet %.

1% = 0,01 = $\frac{1}{100}=\frac{1}{10^2}=1 \cdot 10^{-2}$

En promille betyder en tusendel och visas med promilletecknet ‰.

1 ‰ = 0,001 = $\frac{1}{1000}=\frac{1}{10^3}=1 \cdot 10^{-3}$ = 0,1%

En ppm betyder en miljonte del (parts per million).

1 ppm = 0,000001 = $\frac{1}{1000000}=\frac{1}{10^6}=1 \cdot 10^{-6}$ = 0,0001%

Exempel: Omvandling av Procent, Promille och ppm

Skriv 500 ppm som promille och procent

500 ppm = 500 · 10^-6 = 5 · 10^-4

Först omvandlar vi 500 ppm till promille:

$\frac{500\;ppm}{1\;promille} = \frac{5 \cdot 10^{-4}}{1 \cdot 10^{-3}} =$

$=5\cdot 10^{-4 --3} = 5 \cdot 10^{-1}= 0,5$‰

På samma sätt omvandlar vi 500 ppm till procent:

$\frac{500\;ppm}{1\;procent} = \frac{5 \cdot 10^{-4}}{1 \cdot 10^{-2}} =$

$=5\cdot 10^{-4 --2} = 5 \cdot 10^{-2}=0,05$%

Svar: 0,5‰ resp. 0,05%

Procenträkning

Procent och bråk är i själva verket multiplikationer och då spelar ordningen av faktorer ingen roll, exempelvis:

$36\text{% av 25} = 25\text{% av 36}=\frac14\cdot 36=9$
$16\text{% av 75} = 75\text{% av 16}=\frac34\cdot16=12$

Exempel: Procenträkning

Beräkna a) 12% av 25 b) 14% av 50 c) 19% av 100 d) 80% av 25.

a) 12% av 25 = 25% av 12 = $0,25 \cdot 12 = \frac{12}{4}=3$

b) 14% av 50 = 50% av 14 = $0,5 \cdot 14 = \frac{14}{2}=7$

c) 19% av 100 = 100% av 19 = $1 \cdot 19 = \frac{19}{1}=19$

d) 80% av 25 = 25% av 80 = $0,25 \cdot 80 = \frac{80}{4}=20$

Svar: a) 3 b) 7 c) 19 d) 20

Andelen, delen och det hela

Allmänt kan vi skriva $$andelen=\frac{delen}{det\: hela}$$ Andelen är det vi vill beräkna uttryckt i procent. Delen beskriver det vi vill jämföra. Det hela är totalen av det vi jämför mot. Procenträkning är samma sak som räkning med bråk, med skillnaden att vi uttrycker andelen i procent.

Exempel: Andelen, delen och det hela

I ett val till elevrådet röstade en skolklass med 30 elever fram två elever och en ersättare som skulle företräda klassen.

Annika fick 12 röster
Boris fick 6 röster
Cecilia fick 3 röster

Uttryck i procent andelen röster som var och en av Annika, Boris och Cecilia fick.

andelen-delen-det-hela

Andelen som röstade på Annika =
$=\frac{12}{30}=\frac{12/6}{30/6}=\frac25$ = 0,4 = 40%
Andelen som röstade på Boris =
$=\frac{6}{30}=\frac{6/6}{30/6}=\frac15$ = 0,2 = 20%
Andelen som röstade på Cecilia =
$=\frac{3}{30}=\frac{3/3}{30/3}=\frac{1}{10}$ = 0,1 = 10%

Svar: Annika fick 40%, Boris fick 20% och Cecilia fick 10% av rösterna.

Det hela uttryckt i procent är lika med 100%, vilket vi visar i nästa exempel.

Exempel: Andelen, delen och det hela 2

Hur många procent av rösterna fick någon annan/andra elev(er) i klassen?

Det finns två sätt att räkna ut detta:

Vi vet att det hela är lika med 100% av rösterna. Delen, dvs de röster som Annika, Boris och Cecilia fick ihop = 40% + 20% + 10% = 70% av rösterna. Då kan vi räkna ut andelen röster som övriga elever fick i klassen 100% - 70% = 30% av rösterna.
Antal röster som Annika, Boris och Cecilia fick = 12 + 6 + 3 = 21 röster. Övriga elever fick då 30 röster - 21 röster = 9 röster. Andel röster som övriga elever fick = $\frac{9}{30}=\frac{9/3}{30/3}=\frac{3}{10}=0,3=30$%

Svar: Övriga elever fick 30% av rösterna.

Procentuella förändringar

Då vi räknar med procentuella förändringar använder vi följande formel: $$\text{procentuell förändring}=\frac{\text{förändringen}}{\text{ursprungligt värde}}$$ Procentuell förändring kan både vara positiv och negativ (priset går upp vs. priset går ner). Procentuella förändringar beräknar vi genom multiplikation av vårt ursprungsvärde med förändringsfaktorn.

förändringen = ursprungligt värde $\cdot$ förändringsfaktorn

Vid procentuella ökningar beräknar vi förändringsfaktorn genom att addera ökningen med 100%. Förändringsfaktorn vid en ökning med 20% = 100% + 20% = 120% = 1,2. På samma sätt beräknar vi procentuella minskningar genom att subtrahera minskningen från 100%. Förändringsfaktorn vid en minskning med 20% = 100% - 20% = 1 - 0,2 = 0,8.

Upprepade procentuella förändringar då ursprungsvärdet inte förändras kan vi beräkna genom att multiplicera ursprungsvärdet med produkten av förändringsfaktorerna. Förändringsfaktorn vid en ökning med 10% tre gånger är lika med $(1 + 0,1)^3 = 1,1^3$ och på samma sätt är förändringsfaktorn vid en minskning med 20% tre gånger lika med $(1-0,2)^3=0,8^3$.

Upprepade procentuella förändringar behöver inte nödvändigtvis vara lika stora. Om inte ursprungsvärdet förändras kan vi multiplicera var och en av de procentuella förändringarna vilket vi ger exempel på nedan.

Exempel: Procentuell Förändring

I januari arbetade Kalle totalt 42 timmar. I februari arbetade han 35 timmar. Med hur många procent förändrades Kalles arbetstid i februari?

procent-och-promille-arbetstid

Procentuell förändring = $\frac{35-42}{35}=$ -0,2 = -20%

Svar: -20%, dvs den minskade med 20%.

Exempel: Procentuell Förändring 2

Olles personliga rekord i höjdhopp 2019 var 1,50 m. 2020 förbättrade han sig med 10% och 2021 med ytterligare 20% Hur högt hoppade Olle 2021?

procent-och-promille-höjdhopp

Höjden 2021 = $1,1 \cdot 1,2 \cdot 1,5 = 1,98$ m.

Svar: 2021 hoppade han 1,98 m.

Index

När man räknar med index beskriver man en utveckling i förhållande till en specifik startpunkt, ofta kallad basår. $$Index=\frac{det\: aktuella\: årets\: värde}{basårets\: värde}$$

Index vid basåret sätts till 100. Om index är större än 100 vid tidpunkten för jämförelse så har det vi jämför ökat och om index är mindre än 100 så har det vi jämför minskat.

Om vi ska beräkna hur mycket 100 kronor från 1970 motsvarar i dagens penningvärde använder vi indexberäkning. Prisutveckling över tiden och det så kallade konsumentprisindexet är ett annat exempel.

Exempel: Index

När Sonja startade sin målerifirma 2010 debiterade hon 600 kr/tim. Beräkna hur mycket hon ska debitera 2020. Index för 2010 = 150, index för 2020 = 300.

procent-och-promille-måleri

Ökning av timpriset = $\frac{Index\: 2020}{Index\: 2010} = \frac{300}{150}=2=200$%
Timpriset 2020 = 600 kr/tim · 2 = 1 200 kr/tim

Svar: 1 200 kr/tim.