HÖGSKOLEPROVET
Skriv $\boldsymbol{500}$ $\textbf{ppm}$ som promille och procent
$500\text{ ppm} = 500 \cdot 10^{-6} = 5 \cdot 10^{-4}$
Först omvandlar vi $500\text{ ppm}$ till promille:
$\frac{500\;ppm}{1\;promille} = \frac{5 \cdot 10^{-4}}{1 \cdot 10^{-3}} =$
$=5\cdot 10^{-4 --3} = 5 \cdot 10^{-1}= 0,5$‰
På samma sätt omvandlar vi $500\text{ ppm}$ till procent:
$\frac{500\;ppm}{1\;procent} = \frac{5 \cdot 10^{-4}}{1 \cdot 10^{-2}} =$
$=5\cdot 10^{-4 --2} = 5 \cdot 10^{-2}=0,05$%
Svar: $0,5\text{‰}$ resp. $0,05\text{%}$Procent och bråk är i själva verket multiplikationer och då spelar ordningen av faktorer ingen roll, exempelvis:
Beräkna:
Allmänt kan vi skriva $$andelen=\frac{delen}{det\: hela}$$ Andelen är det vi vill beräkna (ofta uttryckt i procent, promille eller ppm). Delen beskriver det vi vill jämföra. Det hela är totalen av det vi jämför mot. Procenträkning är samma sak som räkning med bråk, med skillnaden att vi uttrycker andelen i procent.
I ett val till elevrådet röstade en skolklass med trettio elever fram två elever och en ersättare som skulle företräda klassen.
Det hela uttryckt i procent är lika med $100\text{%,}$ vilket vi visar i nästa exempel.
Hur många procent av rösterna fick någon annan/andra elev(er) i klassen?
Det finns två sätt att räkna ut detta:
Då vi räknar med procentuella förändringar använder vi följande formel: $$\text{procentuell förändring}=\frac{\text{förändringen}}{\text{ursprungligt värde}}$$ Procentuell förändring kan både vara positiv och negativ (priset går upp vs. priset går ner). Procentuella förändringar beräknar vi genom multiplikation av vårt ursprungsvärde med förändringsfaktorn.
förändringen = ursprungligt värde $\cdot$ förändringsfaktorn
Vid procentuella ökningar beräknar vi förändringsfaktorn genom att addera ökningen med 100%. Förändringsfaktorn vid en ökning med $20\text{%} = 100\text{%} + 20\text{%} = 120\text{%} = 1,2.$ På samma sätt beräknar vi procentuella minskningar genom att subtrahera minskningen från $100\text{%.}$ Förändringsfaktorn vid en minskning med $20\text{%} = 100\text{%} - 20\text{%} = 1 - 0,2 = 0,8.$
Upprepade procentuella förändringar då ursprungsvärdet inte förändras kan vi beräkna genom att multiplicera ursprungsvärdet med produkten av förändringsfaktorerna. Förändringsfaktorn vid en ökning med $10\text{%}$ tre gånger är lika med $(1 + 0,1)^3 = 1,1^3$ och på samma sätt är förändringsfaktorn vid en minskning med $20\text{%}$ tre gånger lika med $(1-0,2)^3=0,8^3$.
Upprepade procentuella förändringar behöver inte nödvändigtvis vara lika stora. Om inte ursprungsvärdet förändras kan vi multiplicera var och en av de procentuella förändringarna vilket vi ger exempel på nedan.
I januari arbetade Kalle totalt $42$ timmar. I februari arbetade han $35$ timmar. Med hur många procent förändrades Kalles arbetstid i februari?
Procentuell förändring $= \frac{35-42}{35}= -0,2 = -20\text{%}$
Svar: $-20\text{%}$, dvs den minskade med $20\text{%.}$Olles personliga rekord i höjdhopp 2019 var $1,50\, m.$ 2020 förbättrade han sig med $10\text{%}$ och 2021 med ytterligare $20\text{%.}$ Hur högt hoppade Olle 2021?
Höjden som Olle hoppade 2021 $= 1,1 \cdot 1,2 \cdot 1,5 = 1,98\,m.$
Svar: 2021 hoppade han $1,98\, m.$
Index vid basåret sätts till $100$. Om index är större än $100$ vid tidpunkten för jämförelse så har det vi jämför ökat och om index är mindre än $100$ så har det vi jämför minskat.
Om vi ska beräkna hur mycket $100$ kronor från 1970 motsvarar i dagens penningvärde använder vi indexberäkning. Prisutveckling över tiden och det så kallade konsumentprisindexet är ett annat exempel.
När Sonja startade sin målerifirma 2010 debiterade hon $600\, kr/tim.$ Index för 2010 $= 150,$ index för 2020 $= 300.$Beräkna hur mycket hon ska debitera 2020.
Ökning av timpriset $=$
$= \frac{Index\: 2020}{Index\: 2010} = \frac{300}{150}=2=200$%
Timpriset 2020 $=$
$= 600\, kr/tim \cdot 2 = 1 200\, kr/tim$