Procent och promille

Sammanfattning

Procent = $\frac{1}{100}$, Promille = $\frac{1}{1\;000}$, ppm = $\frac{1}{1\;000\;000}$
$\text{andelen}=\frac{\text{delen}}{\text{det hela}}$
$\text{procentuell förändring}=\frac{\text{förändringen}}{\text{ursprungligt värde}}$
$\text{index}=\frac{\text{det aktuella årets värde}}{\text{basårets värde}}$

Procent, promille och ppm

En procent betyder en hundradel och visas med procenttecknet %.

1% = 0,01 = $\frac{1}{100}=\frac{1}{10^2}=1 \cdot 10^{-2}$

En promille betyder en tusendel och visas med promilletecknet ‰.

1 ‰ = 0,001 = $\frac{1}{1000}=\frac{1}{10^3}=1 \cdot 10^{-3}$ = 0,1%

En ppm betyder en miljontedel.

1 ppm = 0,000001 = $\frac{1}{1000000}=\frac{1}{10^6}=1 \cdot 10^{-6}$ = 0,0001%

Exempel: Omvandling av Procent, Promille, ppm

Skriv 500 ppm som promille och procent

500 ppm = 500 · 10^-6 = 5 · 10^-4
Först omvandlar vi 500 ppm till promille:
$\frac{500\;ppm}{1\;promille} = \frac{5 \cdot 10^{-4}}{1 \cdot 10^{-3}} = 5\cdot 10^{-4 --3} = 5 \cdot 10^{-1}=$
= 0,5‰

På samma sätt omvandlar vi 500 ppm till procent:
$\frac{500\;ppm}{1\;procent} = \frac{5 \cdot 10^{-4}}{1 \cdot 10^{-2}} = 5\cdot 10^{-4 --2} = 5 \cdot 10^{-2}=$ = 0,05%

Svar: 0,5‰ resp. 0,05%

Procent, delen och det hela

Allmänt kan vi skriva $$andelen=\frac{delen}{det\: hela}$$ Andelen är det vi vill beräkna uttryckt i procent. Delen beskriver det vi vill jämföra. Det hela är totalen av det vi jämför mot. Procenträkning är samma sak som räkning med bråk, med skillnaden att vi uttrycker andelen i procent.

Exempel: Procenträkning

I ett val till elevrådet röstade en skolklass med 30 elever fram två elever och en ersättare som skulle företräda klassen.

Annika fick 12 röster
Boris fick 6 röster
Cecilia fick 3 röster

Uttryck i procent andelen röster som var och en av Annika, Boris och Cecilia fick.

Andelen som röstade på Annika =
$=\frac{12}{30}=\frac{12/6}{30/6}=\frac25$ = 0,4 = 40%
Andelen som röstade på Boris =
$=\frac{6}{30}=\frac{6/6}{30/6}=\frac15$ = 0,2 = 20%
Andelen som röstade på Cecilia =
$=\frac{3}{30}=\frac{3/3}{30/3}=\frac{1}{10}$ = 0,1 = 10%

Svar: Annika fick 40%, Boris fick 20% och Cecilia fick 10% av rösterna.

Det hela uttryckt i procent är lika med 100%, vilket vi visar i nästa exempel.

Exempel: Procenträkning 2

Hur många procent av rösterna fick någon annan/andra elev(er) i klassen?

Det finns två sätt att räkna ut detta:

Vi vet att det hela är lika med 100% av rösterna. Delen, dvs de röster som Annika, Boris och Cecilia fick ihop = 40% + 20% + 10% = 70% av rösterna. Då kan vi räkna ut andelen röster som övriga elever fick i klassen 100% - 70% = 30% av rösterna.
Antal röster som Annika, Boris och Cecilia fick = 12 + 6 + 3 = 21 röster. Övriga elever fick då 30 röster - 21 röster = 9 röster. Andel röster som övriga elever fick = $\frac{9}{30}=\frac{9/3}{30/3}=\frac{3}{10}=0,3=30$%

Svar: Övriga elever fick 30% av rösterna.

Procentuella förändringar

Då vi räknar med procentuella förändringar använder vi följande formel: $$\text{procentuell förändring}=\frac{\text{förändringen}}{\text{ursprungligt värde}}$$ Procentuell förändring kan både vara positiv och negativ (priset går upp vs. priset går ner).

Exempel: Procentuell Förändring

I januari arbetade Kalle totalt 42 timmar. I februari arbetade han 35 timmar. Med hur många procent förändrades Kalles arbetstid i februari?

Procentuell förändring = $\frac{35-42}{35}=$ -0,2 = -20%

Svar: -20%, dvs den minskade med 20%.

Index

När man räknar med index beskriver man en utveckling i förhållande till en specifik startpunkt, ofta kallad basår. $$Index=\frac{det\: aktuella\: årets\: värde}{basårets\: värde}$$

Index vid basåret sätts till 100. Om index är större än 100 vid tidpunkten för jämförelse så har det vi jämför ökat och om index är mindre än 100 så har det vi jämför minskat.

Om vi ska beräkna hur mycket 100 kronor från 1970 motsvarar i dagens penningvärde använder vi indexberäkning. Prisutveckkling över tiden och det så kallade konsumentprisindexet är ett annat exempel.

Exempel: Index

När Sonja startade sin målerifirma 2010 debiterade hon 600 kr/tim. Beräkna hur mycket hon ska debitera 2020. Index för 2010 = 150, index för 2020 = 300.

Ökning av timpriset = $\frac{Index\: 2020}{Index\: 2010} = \frac{300}{150}=2=200$%
Timpriset 2020 = 600 kr/tim · 2 = 1 200 kr/tim

Svar: 1 200 kr/tim.