© AllaRätt.nu
© AllaRätt.nu
HÖGSKOLEPROVET
Lär dig likformighet på Högskoleprovet med pedagogiska genomgångar av likformiga trianglar, topptriangelsatsen, transversalsatsen och bisektrissatsen. Du får även lära dig hur längdskala, areaskala och volymskala används för att lösa geometriska problem.
Likformighet förekommer regelbundet på Högskoleprovets matematikdel. Uppgifterna handlar ofta om att jämföra trianglar, beräkna okända längder eller använda geometriska samband för att bestämma vinklar och areor. Genom att förstå likformiga figurer och de viktigaste satserna kan du snabbt lösa många geometriuppgifter.
För uppgifter med likformighet kan det vara bra att tänka på avbildningar eller kartor. Att två geometriska figurer (t.ex. trianglar) är likformiga betyder att de har exakt samma form, men inte nödvändigtvis samma storlek. Vi kan dra slutsatsen att två objekt är likformiga om:
Två geometriska figurer som har samma form och storlek är kongruenta, även om de är olika orienterade.
Trianglarna $ABC$ och $DEF$ är likformiga. Bestäm sträckan $\boldsymbol{x.}$
Vi vet att i likformiga trianglar är förhållandet mellan motsvarande sidor lika, dvs
$\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}$
$\frac{3}{4,5}=\frac{x}{6}$
Korsvis multiplikation ger:
$x=\frac{6 \cdot 3}{4,5}=\frac{18}{4,5}=4$
Svar: Sträckan $x = 4$ längdenheter.Trianglarna $ABC$ och $DEF$ är likformiga. Bestäm vinkeln $\boldsymbol{y.}$
Vi vet att i likformiga trianglar är vinklarna i den ena triangeln lika stora som vinklarna i den andra triangeln, dvs.
Vinkeln $y =$ vinkeln $EDF = 40^o.$
Svar: Vinkeln $y = 40^o.$Vad är arean $\boldsymbol{A?}$
Vi kallar höjden i den stora triangeln $y$. Förutom triangeln $A$ med basen $2x$ och höjden $y-2$ kallar vi:
$A$, $T_1$ och $T_3$ är likformiga, dvs. förhållandet mellan respektive triangels bas och höjd är detsamma. Det ger oss:
Ekvation 1 ger: $y=x+1$ insatt i ekvation 2:
$\frac{x+1-2}{2x} = \frac13$
$3x-3=2x$
$x=3$ vilket ger $y=4$
$A$ har basen $2x = 6\,cm$ och höjden $y-2=2\,cm$
Arean $A=\frac{6\cdot2}{2}=6\,cm^2$
Svar: Arean $A = 6\, cm^2$Vad är arean $\boldsymbol{A?}$
Vi kallar sidorna i kvadraten $a.$ Den inskrivna kvadraten bildar två mindre trianglar. Båda dessa trianglar är likformiga med den stora triangeln. Triangeln närmast basen i triangeln har basen $(4 - a)$ och höjden $a.$
Förhållandet mellan dessa är lika med förhållandet mellan den stora triangelns bas och höjd:
$\frac{4-a}{a}=\frac43 \Rightarrow 3(4-a) = 4a$
$12-3a = 4a \Rightarrow a = \frac{12}{7} \,cm.$
Arean $A = (\frac{12}{7})^2 = \frac{144}{49}\,cm^2$
Svar: Arean $A = \frac{144}{49}\, cm^2$Topptriangelsatsen säger att topptriangeln ($CDE$ i figuren nedan), som bildas av en parallelltransversal ($DE$ i figuren), är likformig med hela triangeln ($ABC$ i figuren nedan).
En parallelltransversal är alltså en linje som skär två sidor och är parallell med den tredje.
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{c+d}$$
$DE$ är parallell med $AB.$ Beräkna längden $\boldsymbol{x}$ i triangel $\boldsymbol{ABC.}$
Enligt topptriangelsatsen är $CDE$ likformig med triangeln $ABC,$ dvs:
$\frac{x}{9}=\frac{3}{3+6}$
$\Rightarrow x=9 \cdot \frac{3}{9}$
$\Rightarrow x = 3$ längdenheter
Svar: $x = 3$ längdenheter
$DE$ är parallell med $AB.$ Beräkna längden $\boldsymbol{x.}$
Enligt transversalsatsen:
$\frac{x}{5}=\frac{6}{3}$
$x=\frac{5 \cdot 6}{3}=10$
Svar: $x = 10$ längdenheterEn bisektris är en linje som delar en vinkel mitt itu. Vi använder symbolen 
för att indikera att de två vinklarna är lika.
Bisektrissatsen säger att en bisektris i en triangel delar den motstående sidan i samma förhållande som de två angränsande sidorna: $$\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BC}$$
Beräkna längden $\boldsymbol{x.}$
Enligt bisektrissatsen:
$\frac32=\frac{x}{8}$
$x=\frac{8 \cdot 3}{2}=12$
Svar: $x = 12$ längdenheterSkalor beskrivs i avsnittet Omkrets, area och volym. Vid avbildningar och likformighet beskriver skalor förhållanden mellan längd, area och volym. Förhållandet mellan längdskala, areaskala och volymskala definieras enligt följande: $$areaskala = (längdskala)^2$$ $$volymskala = (längdskala)^3$$
Arean $T1 = 12\, cm^2.$ Bestäm arean $\boldsymbol{T2.}$
Eftersom vinklarna i $T1$ är lika med vinklarna i $T2$ vet vi att $T1$ och $T2$ är likformiga.
Längdskalan $= \frac{Sidan \: T2}{Sidan \: T1}=\frac84 = 2$
areaskalan $=$ (längdskala)$^2 = 2^2 = 4$
Arean $T2 =$ areaskalan $\cdot$ arean $T1 = 4 \cdot 12\, cm^2 = 48\, cm^2$
Svar: Arean $T2 = 48\, cm^2$