Hem Interaktiva Övningsprov Lösningar Gamla Högskoleprov Matematiken på Högskoleprovet Om Högskoleprovet Frågor och Svar - FAQ
Allarätt.nu Högskoleprovet Logotype
HÖGSKOLEPROVET

Allarätt.nu Högskoleprovet LogotypeHÖGSKOLEPROVET

Högskoleprovet - Förbered dig till Högskoleprovet på AllaRätt.nu och nå Drömutbildningen!

 

 STARTA ÖVNINGSPROV navigate_next 
    Instagram   
 STARTA ÖVNINGSPROV navigate_next 
geometri_icon

Omkrets, area och volym på Högskoleprovet

Sammanfattning Omkrets, area och volym på Högskoleprovet

Omkrets och area

En figurs omkrets är den sammanlagda längden av de linjer och/eller kurvor som avgränsar figuren. Area är ett mått på hur stor figurens yta är. I slutet på kapitlet listar vi formler för omkrets, area och volym för ett antal vanliga geometriska objekt.

Exempel: Area och Omkrets 1

Camp Nou är hemmaarena för fotbollslaget Barcelona FC. Långsidan på Camp Nou är 105 meter och arean är 7 140 m2. Beräkna omkretsen av Barcelonas hemmaplan.

Fotbollsplanen har formen av en rektangel med Arean = Längden · Kortsidan
$\Rightarrow$ Kortsidan=$\frac{Arean}{Långsidan}=\frac{7140}{105}$ = 68 m
Omkretsen av planen =
= 2(Långsidan + Kortsidan) =
= 2(105 + 68) = 2 · 173 = 346 m.

Svar: Omkretsen av fotbollsplanen är 346 meter.

Exempel: Area och Omkrets 2

Omkretsen av en parallellogram = 200 cm2. En av sidorna = x cm. Beräkna den andra sidan.

Vi kallar sidorna i vår parallellogram = x och y och vi söker y.
Omkretsen av en parallellogram = 2(x + y) = 200 cm
Delar vi med 2 på bägge sidor om likhetstecknet får vi:
x + y = 100 vilket ger att y = (100 - x) cm.

Svar: Sidan = (100 - x) cm.

Exempel: Area och Omkrets 3

Lufttrycket i en fotboll ska vara 1 kg/cm2. Hur mycket luft behövs för att fylla en fotboll med omkretsen 50 cm?

Vi antar att en fotboll har formen av ett klot. Då är arean = $4\pi r^2$
Omkretsen av ett klot = Omkretsen av en cirkel = $\pi d$
Vilket ger att d = $\frac{50}{\pi}$ och r = $\frac{25}{\pi}$ ≈ 8 cm.
r instatt i formeln för area ger:
$4\pi \cdot 8^2= 256 \pi$ ≈ 804 cm2
Lufttrycket = 1 kg/cm2 · 804 cm2 = 804 kg.

Svar: Det behövs 804 kg luft för att fylla fotbollen.

Volym

Volym är ett mått på hur mycket något rymmer. Volym används inom fysiken för att bestämma mängden vätska, gas eller solid. Grundenheten för volym är kubikmeter, m3. 1 kubikmeter = 1 000 liter, l. Enheten liter används ofta i vardagen, exempelvis 1 l mjölk. 1 l är också lika med 1 kubikdecimeter, dm3.

Deciliter (dl) är en tiondels liter och ofta används i matlagning, exempelvis går det åt 6 dl mjöl till en pannkakssats. Centiliter, cl är en kundradels liter, en burk läsk rymmer exempelvis 33 cl. Milliliter, ml är en tusendels liter och en liten enhet, exempelvis 10 ml hostmedicin. 1 ml är också lika med 1 kubikcentimeter, cm3.

Omvandlingstabell Volym
m3 l/dm3 dl cl ml/cm3
1 m31 000104105106
1 l/dm3101001 000
1 dl 10100
1 cl10

Exempel: Enheter för volym

Skriv dessa volymer i liter (l):

  1. 2,5 dm3 + 5 dl
  2. 0,25 m3
  3. 250 cl + 250 cm3

Svar:

  1. 1 dm3 = 1 l. $\Rightarrow$ 2,5 dm3 = 2,5 · 1 l = 2,5 l.
    1 dl = 0,1 l $\Rightarrow$ 5 dl = 5 · 0,1 l = 0,5 l.
    $\Rightarrow$ 2,5 dm3 + 5 dl = (2,5 + 0,5) l = 3 l.
  2. 1 m3 = 1 000 l $\Rightarrow$ 0,25 m3 = (0,25 · 1 000) l = 250 l.
  3. 1 cl = 0,01 l $\Rightarrow$ 250 cl = (250 · 0,01) l = 2,5 l.
    1 cm3 = 0,001 l. $\Rightarrow$ 250 cm3 = (250 · 0,001) l = 0,25 l.
    $\Rightarrow$ 250 cl + 250 cm3 = (2,5 + 0,25) l = 2,75 l.

Längdskala

Då vi gör en avbildning av ett föremål på exempelvis ett papper i naturlig storlek är avbildningen lika stor i verkligheten som på pappret. Detta betecknas 1:1. I kartor behöver vi ofta göra förminskningar. Då en avbildning görs större på pappret än vad den är i verkligheten gör vi en förstoring.
Exempel: Längdskala

På en vägkarta med skalan 1:5 000 000 är avståndet mellan Kalmar och Stockholm ca. 8 cm. Hur långt är det mellan de två städerna i verkligheten?

Skalan 1:5 000 000 innebär att 1 cm på kartan motsvarar 5 000 000 cm i verkligheten. 5 000 000 cm = 50 000 m = 50 km. $\Rightarrow$ 8 cm på kartan = 8 · 50 km = 400 km = 40 mil.

Svar: Avståndet mellan Kalmar och Stockholm är ca. 40 mil.

Areaskala och volymskala

På samma sätt som längdskala beskriver areaskala och volymskala förhållandet mellan en avbildning och verkligheten. Förhållandet mellan längdskala, areaskala och volymskala definieras enligt följande: $$areaskala = (längdskala)^2$$ $$volymskala = (längdskala)^3$$ Om vi studerar enheterna för längd, area och volym finner vi det logiskt med formlerna för omräkning. Grundenheten för längd är meter, för area meter2 och för volym meter3.
Exempel: Längdskala, Areaskala och Volymskala

En kub har volymen 64 cm3 och arean 16 cm2. Bestäm arean och volymen av kuben om alla sidor halveras.

Att halvera sidorna motsvarar i längdskala 1:2. Enligt formeln för areaskala och längdskala är areaskalan efter sidohalvering = $(\frac12)^2=\frac14$, dvs 1:4. Arean efter att sidorna halverats = $16\cdot\frac14=4\; cm^2$. På samma är volymskalan efter sidohalvering = $(\frac12)^3=\frac18$, dvs 1:8 vilket ger en volym = $64\cdot\frac18=8\;cm^3$.

Svar: Efter att sidorna halveras är arean = 4 cm2 och volymen = 8 cm3.

Formelsamling

ObjektOmkrets och Area
kvadratKvadrat
$Omkrets = 4s$
$Area=s^2$
rektangelRektangel
$Omkrets = 2(b + h)$
$Area=bh$
triangelTriangel
$Omkrets = a + b + c$
$Area=\frac{bh}2$
rätvinklig triangelRätvinklig Triangel
Pythagoras sats: $a^2+b^2=c^2$
parallellogramParallellogram
$Omkrets = 2(a + b)$
$Area = bh$
parallelltrapetsParallelltrapets
$Omkrets = a + b + c + d$
$Area=\frac{h(a+b)}2$
cirkelCirkel
$Omkrets = \pi d$
$Area=\pi r^2=\frac{\pi d^2}4$
cirkelsektorCirkelsektor
$Bågen\:b = \frac{\alpha}{360} \cdot 2 \pi r$
$Area=\frac{\alpha}{360} \cdot \pi r^2=\frac{br}2$
prismaPrisma
$Volym =Bh$
cylinderRak Cirkulär Cylinder
$Mantelarea = 2\pi rh$
$Volym=\pi r^2 h$
pyramidPyramid
$Volym = \frac{B h}3$
konRak Cirkulär Kon
$Mantelarea = \pi r s$
$Volym=\frac{\pi r^2 h}{3}$
klotKlot
$Area = 4 \pi r^2$
$Volym=\frac{4 \pi r^3}3$
Skala
$Areaskala = (Längdskala)^2$
$Volymskala=(Längdskala)^3$