© AllaRätt.nu
© AllaRätt.nu
HÖGSKOLEPROVET
Lär dig lösa uppgifter med sannolikhet på högskoleprovet. Vi går igenom grundläggande sannolikhet, komplementhändelser, oberoende och beroende händelser samt dragning med och utan återläggning med tydliga exempel och lösningar.
Sannolikhet mäter hur troligt det är att en viss händelse inträffar. Sannolikheten betecknas med $P,$ från engelskans probability. Den klassiska sannolikhetsdefinitionen för likformigt sannolika utfall är:
$$P =\frac{\text{antalet gynnsamma utfall}}{\text{antalet möjliga utfall}}$$Kastar vi en vanlig sexsidig tärning och vill få en sexa så finns ett gynnsamt utfall av sex möjliga utfall. Sannolikheten är $\text{P(en sexa)} = \frac16 \approx 0,17.$ Det är alltså ca. $17\text{%}$ sannolikhet att vi får en sexa vid ett tärningskast. Ju högre värde $P$ har desto större är sannolikheten att det vi beräknar inträffar.
Sannolikheten att vi inte får en sexa kallas komplementhändelse.
$\text{P(inte en sexa)} = \frac56 \approx 0,83.$ Det är alltså ca. $83\text{%}$ sannolikhet att vi får en etta, tvåa, trea, fyra, eller femma då vi kastar en tärning.
Eftersom summan av sannolikheten för en händelse och dess komplementhändelse alltid är $1,$ dvs $\text{P(en sexa) + P(inte en sexa)} = 1,$ så är ett annat sätt att räkna ut en komplementhändelse:
$\text{P(inte en sexa)} = 1 - \text{P(en sexa)} = 1 - 0,17 = 0,83.$
Om vi kastar en tärning och hoppas på två sexor efter varandra, så är det oberoende händelser. Det första tärningskastet påverkar inte det andra tärningskastet.
Sannolikheten för att få en sexa två gånger i rad är sannolikheten för den första händelsen multiplicerat med sannolikheten för den andra händelsen, dvs.
$P($två sexor i rad$) = P($en sexa$) \cdot P($en sexa$) =$
$=\frac16 \cdot \frac16 = \frac{1}{36} \approx 0,03$ eller ca. $3\text{%.}$
Vid ett tärningskast med en tärning kan vi inte få både en femma och en sexa samtidigt. Sannolikheten att få en femma eller en sexa är därför summan av de två sannolikheterna.
$P($femma eller sexa$) = P($en femma$) + P($en sexa$) =$
$=\frac16 + \frac16 = \frac26=\frac13 \approx 0,33$ eller ca. $33\text{%.}$
En händelse som påverkar en annan händelse kallar vi beroende händelse.
Vi vet att den klassiska sannolikhetsdefinitionen säger att $P =$ antalet gynnsamma fall delat med antalet möjliga fall. Om vi drar två lotter efter varandra utan återläggning från en tombola med $20$ lotter, där det finns $10$ vinster så är:
$P($vinst lott 1$) = \frac{10}{20} = 0,5.$
Om den första lotten var en nit så finns det fortfarande $10$ vinster kvar, dvs antalet gynnsamma fall är fortfarande lika med tio. Däremot är det nu färre lotter kvar, nämligen $20 - 1 = 19$ lotter.
$P($vinst lott 2$) = \frac{10}{19} \approx 0,53.$
Den första händelsen påverkade den andra händelsen genom att antalet möjliga fall minskade. Det här är ett exempel på en beroende händelse
Ett exempel på oberoende händelse respektive beroende händelse är dragning med återläggning respektive dragning utan återläggning.
Sannolikhet vid dragning med återläggning beräknar vi i uppgifter då man lägger tillbaka exempelvis en lott efter att den dragits. Sannolikheten vid dragning med återläggning är lika stor vid varje dragning och är på samma sätt som då vi kastar en tärning exempel på en oberoende händelse. Om vi slumpmässigt ska dra en kula från en påse med tre gröna kulor och två röda kulor, så är sannolikheten att vi får en röd kula $=\frac{2}{5}.$ Om vi efter att vi lagt tillbaka kulan i påsen igen gör en ny dragning så är $P($röd kula$)$ fortfarande $\frac{2}{5}.$
Sannolikhet vid dragning utan återläggning beräknar vi i uppgifter då urvalet inte läggs tillbaka efter att det dragits.
Sannolikheten vid dragning utan återläggning förändras efter varje dragning och är en beroende händelse. Om vi slumpmässigt ska dra en kula från en påse med tre gröna kulor och två röda kulor, så är sannolikheten att vi får en röd kula $= \frac{2}{5}.$ Vilket är samma som vi kom fram till i exemplet ovan. Om vi inte lägger tillbaka kulan i påsen så har omständigheterna nu förändrats, vilket vi behöver ta hänsyn till vid sannolikhetsberäkning av nästa dragning. Antalet möjliga fall har minskat, eftersom det bara är fyra kulor kvar i påsen. Om vi fick upp en röd kula i första dragningen så är $P($röd kula$)$ nu lika med $\frac14.$ Fick vi upp en grön kula i första dragningen så är $P($röd kula$)$ nu $\frac24.$
I en påse finns tre röda kulor, två gröna kulor och en blå kula.
A. Vi använder den klassiska sannolikhetsdefinitionen. Antalet gynnsamma fall $=$ antalet gröna kulor i påsen $= 2$ och antalet möjliga fall $=$ totalt antal kulor i påsen $= 3 + 2 + 1 = 6.$
Därmed är $P($grön kula$) = \frac26 \approx 33\text{%.}$
B. Då vi räknar på att en händelse ska inträffa eller en annan händelse ska inträffa adderar vi de två sannolikheterna, dvs:
$P($röd kula eller blå kula$) = P($röd kula$) + P($blå kula$) =$
$\frac36+\frac16=\frac46=\frac23 \approx 0,67 = 67\text{%.}$
C. Att inte dra en röd kula eller blå kula är en komplementhändelse, dvs.
$P($inte röd eller blå kula$) = 1 - P($röd kula eller blå kula$) \approx (1 - 0,67) = 0,33 = 33\text{%}.$
Notera att detta är samma sak som $P($grön kula$).$
D. Nu har antalet gynnsamma fall minskat till $2 - 1 = 1$ och antalet möjliga fall minskat till $6 - 1 = 5,$ dvs.
$P($grön kula försök två$) = \frac15 = 20\text{%.}$
E. För att beräkna sannolikheten att vi drar två gröna kulor ur påsen i rad multiplicerar vi våra svar från a och d, dvs.
$P($två gröna kulor i rad$) = \frac26 \cdot \frac15 = \frac{2}{30} \approx 7\text{%.}$
Vad är sannolikheten att minst två personer i en familj om fyra är födda på samma veckodag?
Sannolikheten att minst två personer är födda på samma veckodag är en komplementhändelse till att ingen är född på samma veckodag. Detta kan vi uttrycka:
$P($minst två födda på samma veckodag$) = 1 - P($ingen född på samma veckodag$) =$
$=1-\frac{7\cdot6\cdot5\cdot4}{7\cdot7\cdot7\cdot7}=1-\frac{120}{343}=\frac{223}{343}$
Svar: Sannolikheten är $\frac{223}{343}$Tre vanliga sexsidiga tärningar kastas samtidigt. Vad är sannolikheten att de tre tärningarna visar olika ögontal?
Den första tärningen kan ha vilket tal som helst, det vill säga gynnsamma utfall $=$ möjliga utfall $= 6.$
$P($tärning ett olika ögontal$) =\frac66$
Den andra tärningen har $5$ gynnsamma utfall (samtliga ögontal utom samma som tärning ett) och $6$ möjliga utfall:
$P($tärning två olika ögontal$) =\frac56$
På samma sätt som för tärning två, nu är de gynnsamma utfallen $4$ och de möjliga är $6.$
$P($tärning tre olika ögontal$) =\frac46$
Då det är ett tärningskast behöver vi multiplicera sannolikheterna för de tre tärningarna för att beräkna sannolikheten för kastet:
$P($tre olika ögontal$) =\frac{6\cdot5\cdot4}{6\cdot6\cdot6}=\frac{20}{36}=\frac59$
Svar: Sannolikheten är $\frac59$I en låda finns det endast enfärgade röda och svarta kulor. Kalle plockar slumpmässigt kulor ur lådan, en i taget, och lägger tillbaka dem efter varje plockad kula. Sannolikheten att få två svarta kulor efter varandra är då $16/49.$ Vad är sannolikheten att Kalle plockar en röd kula?
Sannolikhet vid återläggning är lika stor vid varje dragning, dvs.
$P($två svarta kulor efter varandra$) = P($svart kula 1$) \cdot P($svart kula 2$) = P($svart kula$)^2$
Enligt texten är $P($två svarta kulor efter varandra$) = \frac{16}{49}$
Drar vi roten ur bägge led får vi:
$P($svart kula$) = \sqrt{\frac{16}{49}}=\frac{4}{7}$
Sannolikheten att Kalle plockar en röd kula är en komplementhändelse, vilket vi beräknar genom:
$P($röd kula$) = 1 - P($svart kula$) = 1-\frac47 = \frac37$
Svar: Svarsalternativet A är rätt. Sannolikheten är $\frac37$$P=1-n^{-1}$
$n>0$
Sannolikheten $P$ beror på antalet genomförda försök $n$. Hur många försök krävs för att sannolikheten ska vara $98\text{%}$?
Vi kan skriva $P=1-n^{-1}=1-\frac{1}{n}$ och vi söker $n$ så att $1-\frac{1}{n} = 0,98 \Rightarrow \frac{1}{n}=1-0,98$
$\Rightarrow n=\frac{1}{0,02}=$
$=\frac{100}{2}=50$
Svar: Efter $50$ försök kan vi förvänta oss $P=98\text{%.}$