Hem Interaktiva Övningsprov Lösningar Gamla Högskoleprov Matematiken på Högskoleprovet Om Högskoleprovet Frågor och Svar - FAQ
Allarätt.nu Högskoleprovet Logotype
HÖGSKOLEPROVET

Allarätt.nu Högskoleprovet LogotypeHÖGSKOLEPROVET

Högskoleprovet - Gör Våra Övningsprov och Öka Dina Chanser att Komma in på Drömutbildningen!

 

STARTA Övningsprov    navigate_next
statistik_icon

Sannolikhet

Sammanfattning

Sannolikhetsdefinitionen

Sannolikhet mäter hur troligt det är att en viss händelse inträffar. Sannolikheten betecknas med P, från engelskans probability. Den klassiska sannolikhetsdefinitionen säger: $$P =\frac{\text{antalet gynnsamma utfall}}{\text{antalet möjliga utfall}}$$

Kastar vi en tärning och hoppas på en sexa så är antalet gynnsamma utfall = 1 och antalet möjliga utfall = 6. Då är P(en sexa) = $\frac16$ ≈ 0,17. Det är alltså ca. 17% sannolikhet att vi får en sexa vid ett tärningskast. Ju högre värde P har desto större är sannolikheten att det vi beräknar inträffar.

Komplementhändelse

Sannolikheten att vi inte får en sexa kallas komplementhändelse. Komplementhändelse betecknas också P. P(ej en sexa) = $\frac56$ ≈ 0,83. Det är alltså ca. 83% sannolikhet att vi får en etta, tvåa, trea, fyra, eller femma då vi kastar en tärning.

Eftersom summan av sannolikheten för en händelse och dess komplementhändelse alltid är 1, dvs P(en sexa) + P(ej en sexa) = 1, så är ett annat sätt att räkna ut en komplementhändelse:
P(ej en sexa) = 1 - P(en sexa) = 1 - 0,17 = 0,83.

Oberoende händelse

Om vi kastar en tärning och hoppas på två sexor efter varandra, så är det oberoende händelser. Det första tärningskastet påverkar inte det andra tärningskastet.

Sannolikheten för att få en sexa två gånger i rad är sannolikheten för den första händelsen multiplicerat med sannolikheten för den andra händelsen, dvs.
P(två sexor i rad) = P(en sexa) · P(en sexa) =
$\frac16 \cdot \frac16 = \frac{1}{36}$ ≈ 0,03 eller ca. 3%.

Sannolikheten för att få en femma eller en sexa är sannolikheten för den första händelsen adderat med sannolikheten för den andra händelsen, dvs.
P(femma eller sexa) = P(en femma) + P(en sexa) =
$\frac16 + \frac16 = \frac26=\frac13$ ≈ 0,33 eller ca. 33%.

Beroende händelse

Vi kallar en beroende händelse om en händelse påverkar en annan händelse.

Vi vet att den klassiska sannolikhetsdefinitionen säger att P = antalet gynnsamma fall delat med antalet möjliga fall. Om vi köper två lotter från en tombola med 20 lotter, där det finns 10 vinster så är:
P(vinst lott 1) = $\frac{10}{20}$ = 0,5

Om den första lotten var en nit så finns det fortfarande 10 vinster kvar, dvs antalet gynnsamma fall är fortfarande lika med tio. Däremot är det nu färre lotter kvar, nämligen 20 - 1 = 19 lotter.
P(vinst lott 2) = $\frac{10}{19}$ = 0,53

Den första händelsen påverkade den andra händelsen genom att antalet möjliga fall minskade. Det här är ett exempel på en beroende händelse

.
Exempel: Sannolikhet

I en påse finns 3 röda kulor, 2 gula kulor och 1 blå kula.

  1. Vad är sannolikheten att slumpmässigt dra en gul kula ur påsen?
  2. Vad är sannolikheten att slumpmässigt dra en röd kula eller blå kula ur påsen?
  3. Vad är sannolikheten att slumpmässigt inte dra en röd kula eller blå kula ur påsen?
  4. Om vi har två chanser att slumpmässigt dra en kula ur påsen och drar en gul kula första gången, vad är då sannolikheten att vi drar en gul kula även andra gången?
  5. Vad är sannolikheten att vi drar två gula kulor i rad ur påsen?

a. Vi använder den klassiska sannolikhetsdefinitionen. Antalet gynnsamma fall = antalet gula kulor i påsen = 2 och antalet möjliga fall = totalt antal kulor i påsen = 3 + 2 + 1 = 6. Därmed är P(gul kula) = $\frac26$ ≈ 33%.

b. Då vi räknar på att en händelse ska inträffa eller en annan händelse ska inträffa adderar vi de två sannolikheterna, dvs:
P(röd kula eller blå kula) = P(röd kula) + P(blå kula) =
$\frac36+\frac16=\frac46=\frac23$ ≈ 0,67 ≈ 67%

c. Att inte dra en röd kula eller blå kula är en komplementhändelse, dvs.
P(inte röd eller blå kula) = 1 - P(röd kula eller blå kula) ≈ 1 - 0,67 ≈ 0,33 ≈33%
Notera att detta är samma sak som P(gul kula)

d. Nu har antalet gynnsamma fall minskat till 2 - 1 = 1 och antalet möjliga fall minskat till 6 - 1 = 5, dvs.
P(gul kula försök 2) = $\frac15$ = 20%.

e. För att beräkna sannolikheten att vi drar två gula kulor ur påsen i rad multiplicerar vi våra svar från a och d, dvs.
P(två gula kulor i rad) = $\frac26 \cdot \frac15 = \frac{2}{30}$ ≈ 7%.

Svar: a) P ≈ 33%, b) P ≈ 67%, c) P ≈ 33%, d) P = 20%, e) P ≈ 7%.