Interaktiva Övningsprov Lösningar Gamla Högskoleprov Matematiken på Högskoleprovet Tips och Strategier Om Högskoleprovet Frågor och Svar - FAQ
Förbered dig till Högskoleprovet på AllaRätt.nu och nå Drömutbildningen!
statistik_icon

Sannolikhet på Högskoleprovet

Sammanfattning Sannolikhet på Högskoleprovet

Sannolikhetsdefinitionen

Sannolikhet mäter hur troligt det är att en viss händelse inträffar. Sannolikheten betecknas med P, från engelskans probability. Den klassiska sannolikhetsdefinitionen säger: $$P =\frac{\text{antalet gynnsamma utfall}}{\text{antalet möjliga utfall}}$$

Kastar vi en tärning och hoppas på en sexa så är antalet gynnsamma utfall = 1 och antalet möjliga utfall = 6. Då är P(en sexa) = $\frac16$ ≈ 0,17. Det är alltså ca. 17% sannolikhet att vi får en sexa vid ett tärningskast. Ju högre värde P har desto större är sannolikheten att det vi beräknar inträffar.

Komplementhändelse

komplementhändelse

Sannolikheten att vi inte får en sexa kallas komplementhändelse. Komplementhändelse betecknas också P. P(ej en sexa) = $\frac56$ ≈ 0,83. Det är alltså ca. 83% sannolikhet att vi får en etta, tvåa, trea, fyra, eller femma då vi kastar en tärning.

Eftersom summan av sannolikheten för en händelse och dess komplementhändelse alltid är 1, dvs P(en sexa) + P(ej en sexa) = 1, så är ett annat sätt att räkna ut en komplementhändelse:
P(ej en sexa) = 1 - P(en sexa) = 1 - 0,17 = 0,83.

Oberoende händelse

oberoende händelse

Om vi kastar en tärning och hoppas på två sexor efter varandra, så är det oberoende händelser. Det första tärningskastet påverkar inte det andra tärningskastet.

Sannolikheten för att få en sexa två gånger i rad är sannolikheten för den första händelsen multiplicerat med sannolikheten för den andra händelsen, dvs.
P(två sexor i rad) = P(en sexa) · P(en sexa) =
$\frac16 \cdot \frac16 = \frac{1}{36}$ ≈ 0,03 eller ca. 3%.

Sannolikheten för att få en femma eller en sexa är sannolikheten för den första händelsen adderat med sannolikheten för den andra händelsen, dvs.
P(femma eller sexa) = P(en femma) + P(en sexa) =
$\frac16 + \frac16 = \frac26=\frac13$ ≈ 0,33 eller ca. 33%.

Beroende händelse

beroende händelse

Vi kallar en beroende händelse om en händelse påverkar en annan händelse.

Vi vet att den klassiska sannolikhetsdefinitionen säger att P = antalet gynnsamma fall delat med antalet möjliga fall. Om vi köper två lotter från en tombola med 20 lotter, där det finns 10 vinster så är:
P(vinst lott 1) = $\frac{10}{20}$ = 0,5

Om den första lotten var en nit så finns det fortfarande 10 vinster kvar, dvs antalet gynnsamma fall är fortfarande lika med tio. Däremot är det nu färre lotter kvar, nämligen 20 - 1 = 19 lotter.
P(vinst lott 2) = $\frac{10}{19}$ = 0,53

Den första händelsen påverkade den andra händelsen genom att antalet möjliga fall minskade. Det här är ett exempel på en beroende händelse

Beräkna sannolikhet vid dragning med återläggning och utan återläggning

Ett exempel på oberoende händelse respektive beroende händelse är dragning med återläggning respektive dragning utan återläggning.

Dragning med återläggning

Sannolikhet vid dragning med återläggning beräknar vi i uppgifter då man lägger tillbaka exempelvis en lott efter att den dragits. Sannolikheten vid dragning med återläggning är lika stor vid varje dragning och är på samma sätt som då vi kastar en tärning exempel på en oberoende händelse. Om vi slumpmässigt ska dra en kula från en påse med 3 svarta kulor och 2 röda kulor, så är sannolikheten att vi får en röd kula = $\frac{2}{5}$. Om vi efter att vi lagt tillbaka kulan i påsen igen gör en ny dragning så är P(röd kula) fortfarande $\frac{2}{5}$.

sannolikhet4

Dragning utan återläggning

Sannolikhet vid dragning utan återläggning beräknar vi i uppgifter då urvalet inte läggs tillbaka efter att det dragits. Sannolikheten vid dragning utan återläggning förändras efter varje dragning och är en beroende händelse. Om vi slumpmässigt ska dra en kula från en påse med 3 svarta kulor och 2 röda kulor, så är sannolikheten att vi får en röd kula = $\frac{2}{5}$. Vilket är samma som vi kom fram till i exemplet ovan. Om vi inte lägger tillbaka kulan i påsen så har omständigheterna nu förändrats, vilket vi behöver ta hänsyn till vid sannolikhetsberäkning av nästa dragning. Antalet möjliga fall har minskat, eftersom det bara är 4 kulor kvar i påsen. Om vi fick upp en röd kula i första dragningen så är P(röd kula) nu lika med $\frac14$. Fick vi upp en svart kula i första dragningen så är P(röd kula) nu $\frac24$.

sannolikhet5

Exempel: Sannolikhet

I en påse finns 3 röda kulor, 2 gula kulor och 1 blå kula.

sannolikhet

  1. Vad är sannolikheten att slumpmässigt dra en gul kula ur påsen?
  2. Vad är sannolikheten att slumpmässigt dra en röd kula eller blå kula ur påsen?
  3. Vad är sannolikheten att slumpmässigt inte dra en röd kula eller blå kula ur påsen?
  4. Om vi har två chanser att slumpmässigt dra en kula ur påsen och drar en gul kula första gången, vad är då sannolikheten att vi drar en gul kula även andra gången?
  5. Vad är sannolikheten att vi drar två gula kulor i rad ur påsen?

A. Vi använder den klassiska sannolikhetsdefinitionen. Antalet gynnsamma fall = antalet gula kulor i påsen = 2 och antalet möjliga fall = totalt antal kulor i påsen = 3 + 2 + 1 = 6. Därmed är P(gul kula) = $\frac26$ ≈ 33%.

B. Då vi räknar på att en händelse ska inträffa eller en annan händelse ska inträffa adderar vi de två sannolikheterna, dvs:
P(röd kula eller blå kula) = P(röd kula) + P(blå kula) =
$\frac36+\frac16=\frac46=\frac23$ ≈ 0,67 ≈ 67%

C. Att inte dra en röd kula eller blå kula är en komplementhändelse, dvs.
P(inte röd eller blå kula) = 1 - P(röd kula eller blå kula) ≈ 1 - 0,67 ≈ 0,33 ≈33%
Notera att detta är samma sak som P(gul kula)

D. Nu har antalet gynnsamma fall minskat till 2 - 1 = 1 och antalet möjliga fall minskat till 6 - 1 = 5, dvs.
P(gul kula försök 2) = $\frac15$ = 20%.

E. För att beräkna sannolikheten att vi drar två gula kulor ur påsen i rad multiplicerar vi våra svar från a och d, dvs.
P(två gula kulor i rad) = $\frac26 \cdot \frac15 = \frac{2}{30}$ ≈ 7%.

Svar: A. P ≈ 33%, B. P ≈ 67%, C. P ≈ 33%, D. P = 20%, E. P ≈ 7%.

Exempel: Sannolikhet 2

Vad är sannolikheten att minst två personer i en familj om fyra är födda på samma veckodag?

sannolikhet2

Sannolikheten att minst två personer är födda på samma veckodag är en komplementhändelse till att ingen är född på samma veckodag. Detta kan vi uttrycka:

P(minst två födda på samma veckodag) = 1 - P(ingen född på samma veckodag) =

$=1-\frac{7\cdot6\cdot5\cdot4}{7\cdot7\cdot7\cdot7}=1-\frac{120}{343}=\frac{223}{343}$

Svar: Sannolikheten är $\frac{223}{343}$

Exempel: Sannolikhet 3

Vad är sannolikheten att med ett tärningskast slå minst tre olika ögontal?

sannolikhet3

Den första tärningen kan ha vilket tal som helst, det vill säga gynnsamma utfall = möjliga utfall = 6.

P(tärning 1 olika ögontal) $=\frac66$

Den andra tärningen har 5 gynnsamma utfall (samtliga ögontal utom samma som tärning 1) och 6 möjliga utfall:

P(tärning 2 olika ögontal) $=\frac56$

På samma sätt som för tärning två, nu är de gynnsamma utfallen 4 och de möjliga är 6.

P(tärning 3 olika ögontal) $=\frac46$

Då det är ett tärningskast behöver vi multiplicera sannolikheterna för de tre tärningarna för att beräkna sannolikheten för kastet:

P(3 olika ögontal) $=\frac{6\cdot5\cdot4}{6\cdot6\cdot6}=\frac{20}{36}=\frac59$

Svar: Sannolikheten är $\frac59$

Exempel: Sannolikhet 4: XYZ från 2022 Vår, Mars Provpass 3 Uppgift 11

I en låda finns det endast enfärgade röda och svarta kulor. Kalle plockar slumpmässigt kulor ur lådan, en i taget, och lägger tillbaka dem efter varje plockad kula. Sannolikheten att få två svarta kulor efter varandra är då 16/49. Vad är sannolikheten att Kalle plockar en röd kula?

  1. $\frac37$
  2. $\frac{25}{49}$
  3. $\frac57$
  4. $\frac{40}{49}$

Sannolikhet vid återläggning är lika stor vid varje dragning, dvs.

P(två svarta kulor efter varandra) = P(svart kula 1) · P(svart kula 2) = P(svart kula)2

Enligt texten är P(två svarta kulor efter varandra) = $\frac{16}{49}$

Drar vi roten ur bägge led får vi:

P(svart kula) = $\sqrt{\frac{16}{49}}=\frac{4}{7}$

Sannolikheten att Kalle plockar en röd kula är en komplementhändelse, vilket vi beräknar genom:

P(röd kula) = 1 - P(svart kula) = $1-\frac47 = \frac37$

Svar: Svarsalternativet A är rätt. Sannolikheten är $\frac37$