HÖGSKOLEPROVET
Ekvationer med enbart en obekant löser vi genom att utföra räkneoperationer på båda leden samtidigt. Steg för steg förenklar vi ekvationen till att vi får den obekanta ensamt i det ena ledet.
$3x - 7 = 2.$ Bestäm $\boldsymbol{x.}$
Vi börjar med att addera $7$ i båda leden:
$3x - 7 + 7 = 2 + 7$
$3x = 9$
Därefter dividerar vi båda led med $3:$
$\frac{3x}{3}=\frac93$
$x = 3$
Klara är 26 år och hennes dotter är 4 år. Om hur många år är Klara dubbelt så gammal som sin dotter?
Vi kallar antal år till Klara är dubbelt så få gammal som sin dotter $x$ och skriver det vi får initialt i uppgiften som en ekvation:
Om $x$ år är Klara $26 + x$ år och hennes dotter är $4 + x$ år. Vi söker $x$ så att Klaras ålder $+ x$ år $= 2$ (dvs. dubbelt) gånger hennes dotters ålder:
$26+x=2(4+x)$
$26+x=8+2x$
$x=18$
Om $18$ år är Klara $26 + 18=44$ år och hennes dotter är $4 + 18=22$ år.
Svar: Om $18$ år.Mats fyller på sin pool med vatten från en tank. Från början är poolen fylld med en femtedel vatten och tanken med $100\,m^3$ vatten, Mats använder hälften av vattnet i tanken för att fylla poolen och då han är klar är poolen helt fylld. Vilken volym har poolen?
Vi kallar poolens volym $V.$
Differensen mellan $V$ och $\frac{1}{5}V$ är lika med halva tankens volym $\frac{1}{2}\cdot 100\,m^3$:
$V-\frac{1}{5}V=\frac{1}{2}\cdot 100\,m^3$
$\frac{4}{5}V=50\,m^3$
För att få $V$ ensam i vänsterledet multiplicerar vi bägge led med $\frac54:$
$\frac54\cdot\frac{4}{5}V=\frac54\cdot50\,m^3$
$V=\frac{5\cdot50}{4}=\frac{250}{4}=62,5\,m^3$
Svar: Poolens volym är $62,5\,m^3$Förstagradsekvationer med fler än en obekanta löser vi med någon av följande tre metoder:
Med denna metod ritar vi linjerna av de två ekvationerna i syfte att bestämma var de möts (skär varandra). Denna punkt kallar vi skärningspunkt. Skärningspunktens x- respektive y-värde ger oss lösningen på ekvationerna.
$y = 2x - 3$ och $y = x - 2.$ Bestäm $\boldsymbol{x}$ och $\boldsymbol{y.}$
Vi ritar vår två ekvationer i en graf enligt nedan. Linjernas skärningspunkt ger oss svaret på uppgiften.
Med substitutionsmetoden löser vi ut en av våra obekanta ur en ekvation och ersätter det uttryck vi får fram i den andra ekvationen.
Ekvation 1: $y - 4 = 2x$ vilket ger att $y = 2x + 4$
Ekvation 2: Vi ersätter $y$ med $2x + 4:$
$x + (2x + 4) = 4x + 2$
Vilket ger $4 - 2 = 4 x - 3x$ och $x = 2$
$x = 2$ insatt i ekvation 1 ger: $y = 2 \cdot 2 + 4 = 8.$
Svar: $x = 2, y = 8.$Claras och Alicias sammanlagda längd är $3,20\,m.$ Alicias och Bedas sammanlagda längd är $3,30\, m.$ Den sammanlagda längden för alla tre är $4,80\, m.$ Hur lång är Alicia?
Vi har tre obekanta: $A, B$ och $C$ och tre ekvationer: $1, 2$ och $3.$
Ekvation $1$ ger at $A = 3,2 - C$
Ekvation 2 ger att $B = 3,3 - A$
Ekvation 1 och 2 insatt i 3 ger:
$(3,2 - C) + (3,3 - A) + C = 4,8=$
$=6,5 - A = 4,8$ vilket ger att $A =$ Alicias längd $= 1,7\, m.$
Svar: Alicia är $1,7\, m.$Additionsmetoden innebär att vi adderar ekvationerna så att någon av de obekanta försvinner. Ibland behöver vi multiplicera ekvationerna med ett tal, om det inte är så att vi kan summera direkt.
Ekvation 1 + Ekvation 2 ger:
$2y - 8 + (y + 4) = -4x + (4x + 2)$
$3y - 4 = 2$
$3y = 6 \Rightarrow y = 2.$
Ekvation 1: $y = 2$ insatt i ekvation 1 ger:
$2 \cdot 2 - 8 = -4x$ vilket ger $4 - 8 = -4x$ och $4x = 4$ dvs $x = 1.$
Hur högt är bordet?
Den här uppgiften löser vi med additionsmetoden. Vi hanterar de två bilderna som ekvationer och räknar med avståndet från golvet:
Då vi adderar våra två ekvationer får vi:
$2$ bord $=110\,cm+70\,cm=180\,cm.$
Det här ger oss höjden på bordet $=90\,cm.$
Svar: Höjden på bordet är $90\,cm.$Villkoren för att en ekvation ska vara lösbar är:
Ekvation 2 insatt i ekvation 1 ger:
$y = 2(\frac{y}{2}+1) - 2 = (y + 2) - 2 = y$
Genom substitutionsmetoden får vi att $y = y$ och därmed är inte uppgiften i exemplet lösbar.
Villkoret att vi har lika många obekanta ($x$ och $y$) som ekvationer (1 och 2) är uppfyllt, men ekvationerna är inte linjärt oberoende eftersom vi kan uttrycka ekvation 1 som ekvation 2 (och vice-versa).
Det här ser vi ännu tydligare om vi i ekvation 2 först multiplicerar vänsterledet och högerledet med 2 och därefter flyttar konstanten till vänsterledet:
$x =\frac{y}{2}+1$ Multiplicera båda led med 2:
$2x = y+2$ Flytta konstanten 2 till vänsterledet:
$y=2x-2$ Vilket är samma sak som ekvation 1.
Ett Venndiagram är ett sätt att strukturera information som kan hjälpa dig att lösa ekvationer och olikheter snabbare på Högskoleprovet. Venndiagram har många praktiska tillämpningar och används bland annat för att ge överskådlighet av likheter och olikheter. För mer komplexa samband (fyra cirklar eller mer) minskar tydligheten.
Lösningsmetoden utgår från att identifiera våra obekanta (variabler), sambandet mellan variablerna och den del av urvalet som inte representeras av våra variabler:
I klassen har $15$ elever katt, $12$ har hund, $5$ elever har både katt och hund och $8$ elever har inget husdjur. Hur många elever går i klassen?
Vi har ett förhållande mellan två variabler, dvs. hundar och katter, så vi ritar två cirklar. I den vänstra cirkeln fyller vi antalet elever som enbart har katt, dvs. $15 - 5 = 10$ och i den högra cirkeln de som enbart har hund, dvs. $12 - 5 = 7.$
I det fält som överlappar de två cirklarna, kallat snittet, fyller vi i antalet elever som har både katt och hund dvs. $5.$
Slutligen fyller vi i antalet elever som inte har något husdjur, dvs. $8,$ utanför våra cirklar.Då vi summerar våra tal får vi $10 + 5 + 7 + 8 = 30,$ vilket är totala antalet elever i klassen.
Svar: $30$ elever går i klassen.På en arbetsplats är 20% rökare, 30% snusare och 10% både röker och snusar. Hur stor andel av medarbetarna är nikotinfria?
Vi använder oss av Venndiagram och då vi har två variabler i uppgiften, rökare och snusare, låter vi vårt diagram bestå av två cirklar. Rökare och snusare.
I det fält som överlappar de två cirklarna, kallat snittet, fyller vi i andelen som både röker och snusar, dvs $10\text{%.}$
Andelen som både rökar och snusar behöver subtraheras från cirklarna som representerar rökare respektive snusare: