Talföljder på Högskoleprovet

Sammanfattning Talföljder på Högskoleprovet

Aritmetisk talföljd skrivs ${a}_{n}={a}_{1}+(n-1)\cdot d$.

Differensen, d mellan elementen är konstant, exempelvis $1, 3, 5, 7, ...$

Geometrisk talföljd skrivs $\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=k$.

Kvoten, k mellan elementen är konstant, exempelvis $5, 10, 20, 40, ...$

Summan av en aritmetisk talföljd skrivs ${s}_{n}=\frac{n\cdot ({a}_{1}+{a}_{n})}{2}$.
Summan av en geometrisk talföljd skrivs ${s}_{n}=\frac{{a}_{1}\cdot \left ( {k}^{n}-1 \right )}{k-1}$.

Aritmetiska talföljder och aritmetiska summor

En aritmetisk talföljd har alltid samma differens mellan termerna, till exempel $1, 3, 5, 7, 9, ...$ Aritmetisk talföljd kan skrivas på formen: $${a}_{n}={a}_{1}+(n-1)\cdot d$$

aritmetisk-talföljd

Exempel: Aritmetisk Talföljd

En talföljd börjar $1, 5, 9, 13, ...$ Vad är värdet på det 20:e elementet i följden?

Eftersom det är samma differens mellan termerna i följden vet vi att det är en aritmetisk talföljd med följande egenskaper:

differensen mellan termerna $= d = 4.$
och talföljdens startvärde $= a_1 = 1.$

Värdet på den 20:e termen är då:

${a}_{20}=1+(20-1)\cdot 4 = 77$.

Svar: Värdet på det 20:e elementet i talföljden $= 77$

Vill vi beräkna summan av de $n$ första elementen i en aritmetisk talföljd, vad som kallas en aritmetisk summa, kan vi göra det med följande formel: $${s}_{n}=\frac{n\cdot ({a}_{1}+{a}_{n})}{2}$$

Exempel: Aritmetisk Summa

Beräkna summan av de tjugo första elementen i talföljden som börjar $\boldsymbol{1, 5, 9, 13, ...}$

Enligt vår formel för aritmetisk summa är

${s}_{20}=\frac{20\cdot (1+77)}{2}=\frac{20\cdot (88)}{2}=10\cdot44=440$

Svar: Summan av värdet på de tjugo första elementen i talföljden $= 440.$

Exempel: Aritmetisk Summa 2

En klocka slår ett slag klockan ett på natten, två slag klockan två osv. Klockan $24$ slår klockan $24$ slag. Hur många slag slår klockan totalt under november månad?

geometrisk-summa

Vi har att göra med en aritmetisk talföljd med differensen $1.$

Aritmetiska summan beräknar vi med formeln ${s}_{n}=\frac{n\cdot ({a}_{1}+{a}_{n})}{2}=$

$=\frac{24\cdot (1+24)}{2}=12\cdot 25=300$ slag.

November har $30$ dagar och antalet slag under november är $30 \cdot 300= 9000$ slag.

Svar: Klockan slår $9 000$ slag under november.

Exempel: Aritmetisk Talföljd och Aritmetisk Summa

En algoritm är programmerad för att lägga till $2r_{n-1}$ rader och $3k_{n-1}$ kolumner till en tabell per sekund. Efter en sekund $(n=1)$ har tabellen två rader och tre kolumner $(r+k=5).$ Vad är $\boldsymbol{r+k}$ efter en minut?

Vi har två aritmetiska talföljder ${a}_{n}={a}_{1}+(n-1)\cdot d$ och ${s}_{n}=\frac{n\cdot ({a}_{1}+{a}_{n})}{2}$

För raderna har vi:

$a_1=2$, $n=60$, och $d=2.$ Vilket ger ${a}_{60}=2+(60-1)\cdot 2=120$
$s_{60}=r=\frac{60\cdot (2+120)}{2}=3660$

För kolumnerna:

$a_1=3$, $n=60$ och $d=3.$ Vilket ger ${a}_{60}=3+(60-1)\cdot 3=180$
$s_{60}=k=\frac{60\cdot (3+180)}{2}=5490$

$r+k=3660+5490=9150$

Svar: $r+k=9150$

Geometriska talföljder och geometriska summor

Kännetecknande för en geometrisk talföljd är att kvoten mellan två intilliggande tal är konstant.

Ett exempel på en talföljd är $5, 10, 20, 40.$ Vi ser här att vi har samma kvot mellan termerna:

$\frac{10}{5}=\frac{20}{10}=\frac{40}{20}=2$

Det här skrivs som: $$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=k$$

geometrisk-talföljd

Exempel: Geometrisk Talföljd

Bestäm nästa tal i talföljden $\boldsymbol{1, 2, 4, 8, ...}$

Vi vet att i en geometrisk talföljd är kvoten mellan två intilliggande tal konstant. I den här talföljden är kvoten mellan talen i talföljden $= k = 2.$ För att ta reda på nästa tal i följden behöver vi alltså multiplicera senast kända tal med två:

$8 \cdot 2 = 16.$

Svar: Nästa tal i talföljden $= 16.$

Summan av de $n$ första elementen i en geometrisk talföljd kan beräknas med formeln för geometrisk summa: $${s}_{n}=\frac{{a}_{1}\cdot \left ( {k}^{n}-1 \right )}{k-1}$$

Exempel: Geometrisk Summa

Beräkna summan av de fem första elementen i talföljden som börjar $\boldsymbol{1, 2, 4, 8, ...}$

Enligt vår formel för geometrisk summa är summan av de fem första elementen $=$

$={s}_{5}=\frac{1\cdot \left ( 2^{5}-1 \right )}{2-1}=31$

Svar: Summan av de fem första elementen i talföljden $= 31.$

Exempel: Geometrisk Summa 2

På måndagen smittas en person av ett virus. Han smittar två personer dag två som var och en smittar två personer dag tre, osv. Vilket uttryck visar totalt antal smittade efter tjugo dagar?

geometrisk-summa

$s_{20}=\frac{1(2^{20}-1)}{2-1}$
$s_{20}=\frac{2(10^{20}-1)}{2}$
$s_{20}=\frac{2 \text{e}^{20}}{2}$
$s_{20}=\frac{2(1+20)}{2}$

Utvecklingen av smittade personer är ett exempel på geometrisk talföljd med kvoten $2.$ För att beräkna summan efter tjugo dagar sätter vi:

Vårt startvärde $a_1$ är antalet smittade dag ett = $a_1=1$
Varje person smittar vår personer, så vårt värde $k=2$
Antal dagar i perioden $= n=20$

Vi sätter in i vår formel för geometrisk summa, vilket ger:

$s_{20}=\frac{1(2^{20}-1)}{2-1} \approx \text{1 050 000}$ personer.

Svar: A. $s_{20}=\frac{1(2^{20}-1)}{2-1}$.

Handskakningsproblemet

Handskakningsproblemet förekommer ofta i matematikuppgifter och även på högskoleprovet. Det vanliga problemet brukar bestå i att beräkna antalet möjliga handskakningar i ett rum med $n$ personer. Formeln vi kan använda känner vi igen som den aritmetiska summan, dvs. $\frac{n(n-1)}{2}$.

Formeln förklaras av att den första personen skakar han med alla i rummet utom sig själv, vilket ger $(n - 1)$ handskakningar. Nästa person har redan skakat hand med en person, så antalet handskakningar är $(n - 2).$ Vi får då $(n - 1) + (n - 2) + ... + 2 + 1$ antalet handskakningar, vilket är samma som vår formel.

Exempel: Handskakningar

Det är sju personer på en fest. Alla personer skakar hand med varandra exakt en gång.

Kvantitet I: Totala antalet handskakningar
Kvantitet II: 21

handskakningsproblemet

Lösningsförslag 1

Person ett skakar hand med övriga sex personer och går sedan och sätter sig.
Nu är det sex personer kvar som står upp. Person två skakar hand med övriga fem personer och går och sätter sig.
Nu är det fem personer kvar som står upp och person tre skakar hand med fyra personer och sätter sig sedan.
Fyra personer står upp och person fyra skakar hand med tre personer och sätter sig sedan.
Tre personer står upp och person fem skakar hand med två personer varpå hon sätter sig.
Slutligen återstår det två personer som står upp och som skakar hand med varandra.

Nu har samtliga skakat hand, vilket ger $6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21$ handskakningar.

Lösningsförslag 2
Vi använder handskakningsformeln: Antal handskakningar = $\frac{n(n-1)}{2}$ där $n =$ Antalet personer. Sätter vi $n = 7$ enligt vår uppgift får vi:

$\frac{n(n-1)}{2}=\frac{7(7-1)}{2}=21$

Svar: Kvantitet I $=$ Kvantitet II.