Talföljder på Högskoleprovet

Linjära ekvationer Olikheter Procent och promille Talföljder Räta linjens ekvation Enheter och prefix Omkrets, area och volym Medelvärde, median… Tabeller

Andragradsekvationer Bråk och decimaler Räkneregler Funktioner Fyrhörningar Trianglar Sannolikhet Kartor

Ekvationer i bråkformat Potensregler Rötter Potens-/exponentialfunktioner Cirkeln Likformighet Vinklar och parallella linjer Diagram

Talföljder förekommer i matematikuppgifter på högskoleprovet och bygger på att upptäcka hur talen i en följd förändras. Här går vi igenom aritmetiska och geometriska talföljder, hur du bestämmer den n:te termen och hur du beräknar summan av flera termer.

Sammanfattning Talföljder på Högskoleprovet

Aritmetisk talföljd skrivs ${a}_{n}={a}_{1}+(n-1)\cdot d$.

Differensen, d mellan termerna är konstant, exempelvis $1, 3, 5, 7, ...$

Geometrisk talföljd skrivs ${a}_{n}={a}_{1}\cdot k^{n-1}$.

Kvoten, k mellan termerna är konstant, exempelvis $5, 10, 20, 40, ...$
Där $k$ kan uttyckas: $k=\frac{a_n}{a_{n-1}}$.

Summan av en aritmetisk talföljd skrivs ${s}_{n}=\frac{n\cdot ({a}_{1}+{a}_{n})}{2}$.

Summan av en geometrisk talföljd skrivs ${s}_{n}=\frac{{a}_{1}\cdot \left ( {k}^{n}-1 \right )}{k-1}$.

Aritmetiska talföljder och aritmetiska summor

En aritmetisk talföljd har alltid samma differens mellan termerna, till exempel $1, 3, 5, 7, 9, ...$ En Aritmetisk talföljd kan skrivas på formen: $${a}_{n}={a}_{1}+(n-1)\cdot d$$

Exempel: Aritmetisk Talföljd
En talföljd börjar $1, 5, 9, 13, ...$ Vad är värdet på den 20:e termen i följden?

Eftersom det är samma differens mellan termerna i följden vet vi att det är en aritmetisk talföljd med följande egenskaper:

differensen mellan termerna $= d = 4.$

och talföljdens startvärde $= a_1 = 1.$

Värdet på den 20:e termen är då:

${a}_{20}=1+(20-1)\cdot 4 = 77$.
Svar: Värdet på den 20:e termen i talföljden $= 77$

Vill vi beräkna summan av de $n$ första termen i en aritmetisk talföljd, vad som kallas en aritmetisk summa, kan vi göra det med följande formel: $${s}_{n}=\frac{n\cdot ({a}_{1}+{a}_{n})}{2}$$

Exempel: Aritmetisk Summa
Beräkna summan av de tjugo första termerna i talföljden som börjar $\boldsymbol{1, 5, 9, 13, ...}$

Enligt vår formel för aritmetisk summa är

${s}_{20}=\frac{20\cdot (1+77)}{2}=\frac{20\cdot (78)}{2}=10\cdot78=780$
Svar: Summan av värdet av de tjugo första termerna i talföljden $= 780.$

Exempel: Aritmetisk Summa 2
En kyrkklocka slår ett slag klockan ett på natten, två slag klockan två osv. Klockan $24$ slår klockan $24$ slag. Hur många slag slår klockan totalt under november månad?

Vi har att göra med en aritmetisk talföljd med differensen $1.$

Aritmetiska summan beräknar vi med formeln ${s}_{n}=\frac{n\cdot ({a}_{1}+{a}_{n})}{2}=$

$=\frac{24\cdot (1+24)}{2}=12\cdot 25=300$ slag.

November har $30$ dagar och antalet slag under november är $30 \cdot 300= 9000$ slag.
Svar: Klockan slår $9 000$ slag under november.

Exempel: Aritmetisk Talföljd och Aritmetisk Summa
En algoritm är programmerad för att lägga till $2r_{n-1}$ rader och $3k_{n-1}$ kolumner till en tabell per sekund. Efter en sekund $(n=1)$ har tabellen två rader och tre kolumner $(r+k=5).$ Vad är $\boldsymbol{r+k}$ efter en minut?

Vi har två aritmetiska talföljder ${a}_{n}={a}_{1}+(n-1)\cdot d$ och ${s}_{n}=\frac{n\cdot ({a}_{1}+{a}_{n})}{2}$
För raderna har vi:
$a_1=2$, $n=60$, och $d=2.$ Vilket ger ${a}_{60}=2+(60-1)\cdot 2=120$

$s_{60}=r=\frac{60\cdot (2+120)}{2}=3660$
För kolumnerna:
$a_1=3$, $n=60$ och $d=3.$ Vilket ger ${a}_{60}=3+(60-1)\cdot 3=180$

$s_{60}=k=\frac{60\cdot (3+180)}{2}=5490$

$r+k=3660+5490=9150$
Svar: $r+k=9150$

Geometriska talföljder och geometriska summor

I en geometrisk talföljd är kvoten mellan två intilliggande termer konstant.

Ett exempel på en talföljd är $5, 10, 20, 40.$ Vi ser här att vi har samma kvot mellan termerna:

$\frac{10}{5}=\frac{20}{10}=\frac{40}{20}=2$

Det här skrivs som: $$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=k$$

Exempel: Geometrisk Talföljd
Bestäm nästa tal i talföljden $\boldsymbol{1, 2, 4, 8, ...}$

Vi vet att i en geometrisk talföljd är kvoten mellan två intilliggande tal konstant. I den här talföljden är kvoten mellan talen i talföljden $= k = 2.$ För att bestämma nästa term multiplicerar vi den senast kända termen med två:
$8 \cdot 2 = 16.$
Svar: Nästa tal i talföljden $= 16.$

Summan av de $n$ första termerna i en geometrisk talföljd kan beräknas med formeln för geometrisk summa: $${s}_{n}=\frac{{a}_{1}\cdot \left ( {k}^{n}-1 \right )}{k-1}$$

Exempel: Geometrisk Summa
Beräkna summan av de fem första termerna i talföljden som börjar $\boldsymbol{1, 2, 4, 8, ...}$

Enligt vår formel för geometrisk summa är summan av de fem första termerna $=$

$={s}_{5}=\frac{1\cdot \left ( 2^{5}-1 \right )}{2-1}=31$

Svar: Summan av de fem första termerna i talföljden $= 31.$

Exempel: Geometrisk Summa 2
På måndagen smittas en person av ett virus. Dag två smittas två nya personer, dag tre smittas fyra nya personer och antalet nysmittade fortsätter att fördubblas varje dag. Vilket uttryck visar det totala antalet personer som har smittats efter 20 dagar?

$s_{20}=\frac{1(2^{20}-1)}{2-1}$
$s_{20}=\frac{2(10^{20}-1)}{2}$
$s_{20}=\frac{2 \text{e}^{20}}{2}$
$s_{20}=\frac{2(1+20)}{2}$

Utvecklingen av smittade personer är ett exempel på geometrisk talföljd med kvoten $2.$ För att beräkna summan efter tjugo dagar sätter vi:

Vårt startvärde $a_1$ är antalet smittade dag ett = $a_1=1$
Varje person med smitta sprider denna till två personer varje dag, så vårt värde $k=2$
Antal dagar i perioden $= n=20$
Vi sätter in i vår formel för geometrisk summa, vilket ger:

$s_{20}=\frac{1(2^{20}-1)}{2-1} = \text{1 048 575}$ personer.
Svar: A. $s_{20}=\frac{1(2^{20}-1)}{2-1}$.

Handskakningsproblemet

Handskakningsproblemet förekommer ofta i matematikuppgifter och även på högskoleprovet. Det vanliga problemet brukar bestå i att beräkna antalet möjliga handskakningar i ett rum med $n$ personer. Formeln vi kan använda känner vi igen som den aritmetiska summan, dvs. $\frac{n(n-1)}{2}$.

Formeln förklaras av att den första personen skakar hand med alla i rummet utom sig själv, vilket ger $(n - 1)$ handskakningar. Nästa person har redan skakat hand med en person, så antalet handskakningar är $(n - 2).$ Vi får då $(n - 1) + (n - 2) + ... + 2 + 1$ antalet handskakningar, vilket är summan av heltalen från $1$ till $n-1.$ Därför är antalet handskakningar $\frac{n(n-1)}{2}$

Exempel: Handskakningar
Det är sju personer på en fest. Alla personer skakar hand med varandra exakt en gång.

Kvantitet I: Totala antalet handskakningar
Kvantitet II: 21

Lösningsförslag 1
Person ett skakar hand med övriga sex personer och går sedan och sätter sig.

Nu är det sex personer kvar som står upp. Person två skakar hand med övriga fem personer och går och sätter sig.

Nu är det fem personer kvar som står upp och person tre skakar hand med fyra personer och sätter sig sedan.

Fyra personer står upp och person fyra skakar hand med tre personer och sätter sig sedan.

Tre personer står upp och person fem skakar hand med två personer varpå hon sätter sig.

Slutligen återstår det två personer som står upp och som skakar hand med varandra.

Nu har samtliga skakat hand, vilket ger $6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21$ handskakningar.

Lösningsförslag 2

Vi använder handskakningsformeln: Antal handskakningar = $\frac{n(n-1)}{2}$ där $n =$ Antalet personer. Sätter vi $n = 7$ enligt vår uppgift får vi:

$\frac{n(n-1)}{2}=\frac{7(7-1)}{2}=21$
Svar: Kvantitet I $=$ Kvantitet II.