Interaktiva Övningsprov Lösningar Gamla Högskoleprov Matematiken på Högskoleprovet Tips och Strategier Om Högskoleprovet Frågor och Svar - FAQ
Förbered dig till Högskoleprovet på AllaRätt.nu och nå Drömutbildningen!
algebra_icon

Andragradsekvationer på Högskoleprovet

Sammanfattning Andragradsekvationer på Högskoleprovet

Enkla andragradsekvationer

En andragradsekvation skrivs allmänt på formen: $$ax^2 + bx + c$$ och en motsvarande andragradsfunktion (se avsnittet om Potensfunktioner): $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ Enkla andragradsekvationer är sådana ekvationer som endera saknar x-term (b = 0), t.ex. x2 - 25 = 0 eller konstant (c = 0), t.ex. x2 - 4x = 0. Dessa ekvationer kan vi lösa genom faktorisering eller genom att flytta över konstanttermen till högerledet och beräkna roten ur respektive led.

Exempel: Enkla Andragradsekvationer 1

Bestäm rötterna till ekvationen x2 - 25 = 0

Vi flyttar över konstanten till högerledet och kan lösa ekvationen direkt genom att dra roten ur bägge led:
$x^2=25\Rightarrow x =\pm \sqrt{25}\Rightarrow x = \pm 5$

Svar: x1 = 5, x2 = -5. Motsvarande funktion f(x) = x2 - 25 enligt nedan.

andragradsekvation

Exempel: Enkla Andragradsekvationer 2

Bestäm rötterna till ekvationen x2 - 4x = 0

x2 - 4x = x(x - 4) = 0
Då vi faktoriserat talet enligt ovan är det enkelt att bestämma de två rötterna. Den ena roten får vi om vi sätter det som står utanför parentesen i vänsterledet (dvs x) lika med högerledet (dvs 0). Den andra roten får vi om vi sätter det som står innanför parentesen (dvs x - 4) lika med noll.

Svar: x1 = 0, x2 = 4. Motsvarande funktion f(x) = x2 - 4x enligt nedan.

andragradsekvation-2

Beräkna kvadraten (upphöjt till två) av ett tal med huvudräkning och faktorisering

Då vi inte har tillgång till dator och ska beräkna kvadraten av ett tal kan vi utnyttja att kvadraten av ett tal kan skrivas $x^2=(x+d)(x-d)+d^2$ eller $x^2=(x-d)(x+d)+d^2$ där x är talet i kvadrat och d är differensen.

Exempel: $63^2=$
$=(63-3)(63+3)+3^2=$
$=60\cdot66+9=$
$=60(60+6)+9=$
$=3600+360+9=$
$=3969$

Exempel: Beräkna kvadraten av ett tal

Vad är $74^2$?

$74^2=(74-4)(74+4)+4^2=$
$=70\cdot78 + 16=$
$=70(70+8)+16=$
$=4900+ 560+16=5476$

Svar: $74^2=5476$.

pq-formeln

Då vi ska lösa ekvationer på formen ax2 + bx + c och då vi har värden på både x-termen (dvs b $\neq$ 0) och konstanten (dvs c $\neq$ 0) kan vi endera göra kvadratkomplettering eller utnyttja pq-formeln: $$x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q}$$ Där $p=\frac ba$ och $q=\frac ca$

Exempel: pq-formeln

Bestäm lösningen till ekvationen $x^{2}+8x+7=0$

I det här fallet är p = 8 och q = 7. pq-formeln ger:
$x=-\frac{8}{2}\pm\sqrt{\left (\frac{8}{2} \right )^{2}-7}$
$x=-\frac{8}{2}\pm\sqrt{16-7}$
$x=-4\pm\sqrt{9}$
$x=-4\pm 3$.

Svar: x1 = -1, x2 = -7. Motsvarande funktion f(x) = $x^{2}+8x+7$ enligt nedan.

andragradsekvation-3

Konjugatregeln

Konjugatregeln skrivs: $$(a+b)\cdot(a-b) = a^2 - b^2$$
Exempel: Konjugatregeln

Beräkna (x + 2) · (x - 2)

Enligt konjugatregeln:
(x + 2) · (x - 2) = x2 - 22 = x2 - 4

Svar: x2 - 4

Första och Andra Kvadreringsregelerna

Första kvadreringsregeln skrivs: $$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$$ Andra kvadreringsregeln skrivs: $$(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$$
Exempel: Första Kvadreringsregeln

Bestäm (x + 2)2

Enligt första kvadreringsregeln:
(x + 2)2 = x2 + 22 + 2 · x · 2 = x2 + 4 + 4x

Svar: x2 + 4 + 4x

Exempel: Andra Kvadreringsregeln

Bestäm (x - 2)2

Enligt andra kvadreringsregeln:
(x - 2)2 = x2 + 22 - 2 · x · 2 = x2 + 4 - 4x

Svar: x2 + 4 - 4x

Variabelbyte och kvadratkomplettering

I vissa uppgifter gör ett variabelbyte att vi förenklar ekvationen och kan lösa den snabbare. Variabelbyte är mycket användbart för mer komplicerade uppgifter än de som ska lösas på högskoleprovet, men kan ibland passa mycket bra även för uppgifterna på högskoleprovet. Variabelbyte går ut på att ersätta vissa termer i ekvationen för att förenkla ekvationen, ofta genom utnyttjande av konjugatregeln eller kvadreringsreglerna.

Kvadratkomplettering går också ut på att använda kvadreringsreglerna. Vi "möblerar om" ekvationen så att den passar den första eller den andra kvadreringsregeln.

Exempel: Variabelbyte

Bestäm x för ekvationen $(x+1)^2-4=0$

Vi ersätter (x + 1) med u och skriver om vår ekvation:

$u^2-4=0 \Rightarrow u^2=4 \Rightarrow u = \pm 2$

Nu ersätter vi tillbaka u med (x + 1):

$x + 1 = \pm 2 \Rightarrow x_1 = 1$ och $x_2=3$

Svar: $x=1$ eller $x=3$

Exempel: Kvadratkomplettering

Bestäm x för ekvationen $x^2+4x-5=0$

Vi börjar med att flytta konstanttermen till högerledet:

$x^2+4x=5$

Strategin är att faktorisera vänsterledet med hjälp av den första kvadreringsregeln. Om x-termen vore negativ hade vi utnyttjat den andra kvadreringsregeln. Första kvadreringsregeln skrivs $x^2+2bx+b^2=(x+b)^2$. För att få vårt vänsterled på den här formen behöver vi alltså lägga till en konstantterm $b^2$, samtidigt som 2bx ska vara lika med x-termen i vårt vänsterled, vilket ger $2bx = 4x \Rightarrow b = 2$.

Vi lägger till $b^2 = 2^2$ i både vänsterledet och högerledet i vår ekvation, vilket ger:

$x^2+4x + 2^2 = 5 + 2^2 \Rightarrow (x+2)^2=9$

$x + 2 = \pm 3 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = 5$.

Svar: $x=1$ eller $x=5$

Andragradsekvationers Lösbarhet

En ekvation med ett högre gradtal, exempelvis x2, x3, osv., har normalt lika många lösningar (rötter) som gradtalet, fast flera av lösningarna kan vara samma. Dvs, en ekvation med x2-term har normalt två lösningar, en ekvation med x3-term har normalt tre lösningar, osv.

Att en andragradsekvation har samma lösning brukar kallas dubbelrötter, exempelvis ekvationen x2 - 4x + 4 = 0, vilket ger x1 = 2 och x2 = 2.

Som exemplet nedan visar så har inte alla ekvationer en lösning.

Exempel: Andragradsekvationers Lösbarhet

Bestäm lösningen till ekvationen 2y2 + 50 = 0

Vi börjar med att dividera vänsterledet och högerledet med 2 för att få koefficienten framför y = 1:
$\frac{2y^2 + 50}2 = \frac02$
$y^2 + 25 = 0$
Därefter flyttar vi konstanten 25 till högerledet:
$y^2 = -25\Rightarrow y=\pm \sqrt{-25}$

Vi ser då att vi får ett negativt tal under rottecknet. Det innebär att ekvationen inte har några reella rötter. Om vi ritar kurvan till ekvationen 2y2 + 50 så ser vi att den aldrig skär x-axeln och därmed saknar nollställen.

Svar: Ekvationen saknar lösning (för reella tal).Motsvarande funktion till 2y2 + 50 enligt nedan.

andragradsekvation-4

När har en andragradsekvation bara en lösning?

Som vi tidigare beskrivit har andragradsekvationer normalt två lösningar, men vissa andragradsekvationer har bara en lösning eller saknar lösning helt. Studerar vi pq-formeln så kan vi avgöra hur många lösningar en andragradsekvation har. Det som står innanför för rottecknet, dvs $\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q$, kallas diskriminanten. Utgående från värdet på diskriminanten ger det oss tre olika möjligheter:

Grafiskt innebär det här:

Exempel: När har en andragradsekvation bara en lösning?

För vilket värde på konstanten a har ekvationen $x^2 = 4a - 8$ exakt en lösning?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

Det är lätt att bli lurad av uppgiften och tolka att termen 4a hör till x-termen, men det stämmer inte. Istället är hela termen 4a - 8 en konstant och x-term saknas i ekvationen. Vi provar därför att sätta a lika med de olika värden vi finner bland våra svarsalternativ:

A. Vi får $x^2=4\cdot 1 -8=-4$. Det här går inte. Vi kan inte få ett negativt tal då vi multiplicerar talet med sig själv (för reella tal).

B. $x^2=4\cdot 2 -8=0$. Vi får en lösning och vårt svar är därför svarsalternativet B.

C. $x^2=4\cdot 3 -8=4$. Vilket inte stämmer. Vi får två lösningar $x_1=-\sqrt4=-2$ och $x_2=\sqrt4=2$

D. $x^2=4\cdot 4 -8=8$. Vilket inte heller stämmer. Vi får två lösningar $x_1=-\sqrt 8$ och $x_2=\sqrt8$

Svaret är därför B, dvs för a = 2.

Svar: Alternativ B.

Exempel: När har en andragradsekvation bara en lösning 2?

För vilka värden på konstanten k har ekvationen $x^2 + kx + 25$ exakt en lösning?

$p=\frac ba = \frac{k}{1}=k$ och $q=\frac {25}{1}=25$

Diskriminanten $=\left (\frac{k}{2} \right )^{2}-25=\frac{k^2}{4}-25$

Vi vill beräkna k så att diskriminanten = 0, dvs.

$\frac{k^2}{4}-25=0$

$k^2=100 \Rightarrow k = \pm \sqrt{100}=\pm 10$

Svar: $k = \pm 10$.

Kvadratkomplettering, ABC-formeln och tredjegradsbionom

Kvadratkomplettering: $$x^2+px=x^2+px+\left(\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2=$$ $$\left(x+\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2$$ ABC-formeln:
Andragradsekvationer av typen ax2 + bx + c = 0 där a $\ne$ 0 har rötterna: $$x = - \frac{b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2}{(2a)^2} - \frac{c}{a}}=$$ $$= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Tredjegradsbionom: $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$ $$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$ $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$ $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$