Cirkeln på Högskoleprovet

En pizza bakas på en kvadratisk plåt med arean $\boldsymbol{400\, cm^2}$. Pizzabagaren försöker att minimera degspillet genom att utnyttja så mycket av plåten som möjligt. Bestäm arean av den del av plåten (det svarta området i figuren) som pizzan inte täcker.

Plåtens area - Pizzans area.

Arean av plåten = $sidan^2$

$\Rightarrow sidan =\sqrt{400}=20\: cm$

Vi antar att pizzan är cirkulär och så stor som möjligt. Eftersom pizzan tangerar plåtens fyra sidor är pizzans diameter lika med plåtens sidlängd, alltså $d=20\,cm.$

Pizzans area $= \frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi \cdot 20^2}{4}=100\pi$

Arean av plåten som pizzan inte täcker $=$

$= 400\, cm^2 - 100 \pi \approx 86\, cm^2$

En cirkel är inskriven i ett koordinatsystem. Sträckan $AB$ är cirkelns diameter där punkten $A$ har koordinaterna $(-5, -1)$ och punkten $B (3, 5).$ Bestäm cirkelns area.

I kapitlet om räta linjens ekvation lärde vi oss att vi kan använda avståndsformeln för att beräkna avståndet mellan två punkter.

Avståndet mellan punkten $A (x_1, y_1)$ och punkten $B (x_2, y_2)$ är lika med cirkelns diameter $d:$

$d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$. Med våra koordinater insatta får vi:

$\sqrt{(3--5)^{2}+(5--1)^{2}}=$

$=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$

Cirkelns area $= \frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi 10^2}{4}=25 \pi$

Ett cykelhjuls diameter är $64\, cm.$ Hur många varv rullar hjulet på en sträcka av en kilometer?

Låt oss kalla diametern på hjulet $= d.$

På ett varv rullar hjulet en sträcka som motsvarar dess omkrets:

$O=\pi d=\pi \cdot 0,64=0,64\pi\,m.$

På $1\, km = 1 000\, m$ rullar hjulet $\frac{1000}{0,64\pi}\approx 500$ varv.

Två cirklar överlappar varandra. Beräkna $x$ då cirkel A:s area är $\frac{16}{9}$ så stor som cirkel B:s.

A:s radie är $(3+x)$ längdenheter och B:s radie är $(2+x)$ längdenheter. Enligt uppgiften är A:s area $\frac{16}{9}$ av B:s area. Eftersom cirkelns area är $\pi r^2$ kan vi ställa upp följande ekvation:

$\pi(3+x)^2 = \frac{16}{9}\pi(2+x)^2$

Vi förkortar bort $\pi:$

$(3+x)^2 = \frac{16}{9}(2+x)^2$

Vi drar roten ur bägge led:

$3+x = \frac{4}{3}(2+x)$

$3+x= \frac83 + \frac{4x}{3}$

Vi multiplicerar båda led med $3:$

$9+3x=8 + 4x$

$9-8 = 4x-3x$

$x=1$

Svar: $x=1$

Vad är arean av den största kvadrat som ryms i en cirkel med radien $\boldsymbol{r?}$

Kvadratens diagonal är $2r$ och vi kallar kvadratens sida $s.$

Pythagoras ger: $(2r)^2 = s^2 + s^2$

$4r^2=2s^2 \Rightarrow 2r^2=s^2 \Rightarrow s=\sqrt{2}r$

Arean av kvadraten är $s^2=(\sqrt 2 r)^2 = 2r^2$

Svar: Den största kvadratens area är $2r^2.$

En cirkelsektor har radien $1\, cm$ och medelpunktsvinkeln $60$ grader. Beräkna dess omkrets och area.

Omkretsen $= 2 \cdot$ radien $+$ längden på bågen $=$

$= 2r + b$

$b = \frac{\alpha}{360}\cdot 2 \pi r =\frac{60}{360}\cdot 2 \pi \cdot 1=$

$=\frac{1}{6}\cdot 2 \pi =\frac{\pi}{3} \approx 1,05\, cm.$

Cirkelsektorns omkrets är:

$O=2r+b=2+\frac{\pi}{3}\approx3,05\,cm.$

Cirkelsektorns area är:

$A=\frac{60}{360}\cdot\pi\cdot1^2=\frac{\pi}{6}\approx0,52\,cm^2.$

Svar: Cirkelsektorns omkrets är cirka $3,05\,cm$ och arean cirka $0,52\,cm^2.$

Hur långt rör sig gungan mellan sina två vändlägen?

Sträckan $L$ som gungan rör sig mellan sina två vändlägen är en cirkelbåge med medelpunktsvinkeln $2\cdot67,5$°$=135$°. Längden på gungans linor motsvarar cirkelns radie. Därmed kan vi beräkna sträckan $L:$

$L = \frac{135^o}{360^o}\cdot 2 \pi \cdot 2 = \frac38 \cdot 4 \pi=\frac{3 \pi}{2} m$