Cirkeln är en av de grundläggande geometriska formerna. Cirkelns radie är avståndet från mittpunkten till cirkelns periferin, markerat r i figuren. Diametern är avståndet från perierin genom mittpunkten till periferin på motstående sida, markerat d i figuren. $$Omkrets= \pi d = 2\pi r$$ $$Area= \pi r^2=\frac{\pi d^2}{4}$$
En pizza bakas på en kvadratisk plåt med arean 400 cm2. Pizzabagaren försöker att minimera degspillet genom att utnyttja så mycket av plåten som möjligt. Bestäm arean av den del av plåten (det svarta området i figuren) som pizzan inte täcker.
Plåtens area - Pizzans area.
Arean av plåten = $sidan^2$
$\Rightarrow sidan =\sqrt{400}=20\: cm$
Vi antar att pizzan är cirkulär och då den tangerar plåtens sida är pizzans diameter = plåtens sida = 20 cm.
Pizzans area = $\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi \cdot 20^2}{4}=100\pi$
Arean av plåten som pizzan inte täcker =
= 400 cm2 - 100 π ≈ 86 cm2
Inskrivna geometriska objekt (exemplet med pizzan) har tillämpning inte enbart genom att minimera degspill för pizzabagare. Andra exempel är formgjutning inom industrin och lastoptimering.
En cirkel är inskriven i ett koordinatsystem. Sträckan AB är cirkelns diameter där punkten A har koordinaterna (-5, -1) och punkten B (3, 5). Bestäm cirkelns area.
I kapitlet om räta linjens ekvation lärde vi oss att vi kan använda avståndsformeln för att beräkna avståndet mellan två punkter.
Avståndet mellan punkten A (x1, y1) och punkten B (x2, y2) är lika med cirkelns diameter d:
$d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$. Med våra koordinater insatt får vi:
$\sqrt{(3--5)^{2}+(5--1)^{2}}=$
$\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$
Cirkelns area = $\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi 10^2}{4}=25 \pi$
Ett cykelhjuls diameter är 64 cm. Hur många varv rullar hjulet på en sträcka av en kilometer?
Låt oss kalla diametern på hjulet = d. På ett varv rullar hjulet $\pi \cdot d=\pi \cdot 0,64 = 0,64\pi$ varv.
På 1 km = 1 000 m rullar hjulet $\frac{1000}{0,64\pi}\approx 500$ varv.
Svar: Hjulet rullar cirka 500 varv på 1 km.Cirkeln B:s radie är $\frac34$ gånger mindre än cirkeln A:s. Vad är arean A?
A:s radie är (3 + x) längdenheter och B:s radie är (2 + x) längdenheter. Enligt texten är B:s radie $\frac34$ gånger mindre än A:s, vilket vi kan uttrycka:
$\frac34(3+x)=2+x$
$\frac94 + \frac{3x}{4}=2+x$
$\frac{x}{4}=\frac14 \Rightarrow x = $ 1 längdenheter.
Arean A = $\pi(3+1)^2=16\pi$ areaenheter.
Svar: Arean A är $16\pi$ areaenheter.En sammanhängande del av cirkeln kallas cirkelsektor. Storleken på cirkelsektorn i förhållande till tillhörande cirkel bestäms av medelpunktsvinkeln $\alpha$.
En cirkelsektor har radien 1 cm och vinkeln 60 grader. Beräkna dess omkrets och area.
Omkretsen = 2 · radien + längden på bågen =
= 2r + b
$b = \frac{\alpha}{360}\cdot 2 \pi r =\frac{60}{360}\cdot 2 \pi \cdot 1=$
$=\frac{1}{60}\cdot 2 \pi$ ≈ 1,0 cm.
Vi kan nu beräkna omkretsen =
= 2 · 1 + 1,0 = 3,0 cm.
Arean = $\frac{br}{2} = \frac{1 \cdot 1}{2}$ ≈ 0,5 cm2
Svar: Cirkelsektorns omkrets = 3 cm och arean = 1 cm2.Hur långt rör sig gungan mellan sina två vändlägen?.
Sträckan som gungan rör sig mellan sina två vändlägen har formen av en cirkelsektor med medelpunktsvinkeln $2 \cdot 67,5^o = 135^o$. Längden på gungans linor kan vi likställa med radien på cirkeln. Därmed kan vi beräkna sträckan s:
s = $\frac{135^o}{360^o}\cdot 2 \pi \cdot 2 = \frac38 \cdot 4 \pi=\frac{3 \pi}{2} m$
Svar: Gungan rör sig $\frac{3 \pi}{2} m.$