Hem Interaktiva Övningsprov Lösningar Gamla Högskoleprov Matematiken på Högskoleprovet Om Högskoleprovet Frågor och Svar - FAQ
Allarätt.nu Högskoleprovet Logotype
HÖGSKOLEPROVET

Allarätt.nu Högskoleprovet LogotypeHÖGSKOLEPROVET

Högskoleprovet - Gör Våra Övningsprov och Öka Dina Chanser att Komma in på Drömutbildningen!

 

STARTA Övningsprov    navigate_next
geometri_icon

Cirkeln

Sammanfattning

Cirkeln

cirkel

Cirkeln är en av de grundläggande geometriska formerna. Cirkelns radie är avståndet från mittpunkten till cirkelns periferi, markerat r i figuren. Diametern är avståndet från perierin genom mittpunkten till periferin på motstående sida, markerat d i figuren. $$Omkrets= \pi d = 2\pi r$$ $$Area= \pi r^2=\frac{\pi d^2}{4}$$

Exempel: Cirkeln 1

En pizza bakas på en kvadratisk plåt med arean 400 cm2. Pizzabagaren försöker att minimera degspillet genom att utnyttja så mycket av plåten som möjligt. Bestäm arean av den del av plåten (det svarta området i figuren) som pizzan inte täcker.

plåt-pizza

Arean av plåten som pizzan inte täcker =

Plåtens area - Pizzans area.
Arean av plåten = $sidan^2$
$\Rightarrow sidan =\sqrt{400}=20\: cm$

Vi antar att pizzan är cirkulär och då den tangerar plåtens sida är pizzans diameter = plåtens sida = 20 cm.
Pizzans area = $\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi \cdot 20^2}{4}=100\pi$
Arean av plåten som pizzan inte täcker =
= 400 cm2 - 100 π ≈ 86 cm2

Svar: Arean av plåten som pizzan inte täcker ≈ 86 cm2
Inskrivna geometriska objekt (exemplet med pizzan) har tillämpning inte enbart genom att minimera degspill för pizzabagare. Andra exempel är formgjutning inom industrin och lastoptimering.
Exempel: Cirkeln 2

En cirkel är inskriven i ett koordinatsystem. Sträckan AB är cirkelns diameter där punkten A har koordinaterna (-5, -1) och punkten B (3, 5). Bestäm cirkelns area.

cirkel-exempel

I kapitlet om räta linjens ekvation lärde vi oss att vi kan använda avståndsformeln för att beräkna avståndet mellan två punkter.

Avståndet mellan punkten A (x1, y1) och punkten B (x2, y2) är lika med cirkelns diameter d:
$d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$. Med våra koordinater insatt får vi:
$\sqrt{(3--5)^{2}+(5--1)^{2}}=$
$\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$
Cirkelns area = $\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi 10^2}{4}=25 \pi$

Svar: Cirkeln area = 25π areaenheter

Cirkelsektorn

cirkelsektor

En sammanhängande del av cirkeln kallas cirkelsektor. Storleken på cirkelsektorn i förhållande till tillhörande cirkel bestäms av medelpunktsvinkeln $\alpha$.

En sammanhängande del av cirkelns omkrets kallas för cirkelbåge. Båglängden, markerad b i figuren, beräknas med:

$$b = \frac{\alpha}{360}\cdot 2 \pi r$$ $$O=2r+b$$ $$A=\frac{\alpha}{360}\cdot \pi r^2=\frac{br}{2}$$ Formlerna för bågens längd och cirkelsektorns area är lätta att komma ihåg. Om vi sätter vinkeln $\alpha$ till 360° får vi samma formler som för den hela cirkeln. En cirkelbåge med vinkeln 360° är lika med cirkelns omkrets och en cirkelsektor med vinkeln 360° är lika med cirkelns area. Skillnaden mellan cirkeln och cirkelsektorn är alltså kvoten $\frac{\alpha}{360}$.

Exempel: Cirkelsektorn

En cirkelsektor har radien 1 cm och vinkeln 60 grader. Beräkna dess omkrets och area.

Omkretsen = 2 · radien + längden på bågen =
= 2r + b
$b = \frac{\alpha}{360}\cdot 2 \pi r =\frac{60}{360}\cdot 2 \pi \cdot 1=$
$=\frac{1}{60}\cdot 2 \pi$ ≈ 1,0 cm.

Vi kan nu beräkna omkretsen =
= 2 · 1 + 1,0 = 3,0 cm.

Arean = $\frac{br}{2} = \frac{1 \cdot 1}{2}$ ≈ 0,5 cm2

Svar: Cirkelsektorns omkrets = 3 cm och arean = 1 cm2.