Cirkeln på Högskoleprovet

Sammanfattning Cirkeln på Högskoleprovet

Cirkelns omkrets = $\pi d$, area = $\pi r^2=\frac{\pi d^2}{4}$
Om en cirkel med radien r är inskriven i en kvadrat med sidan s så är arean mellan kvadraten och cirkeln = $s^2-\pi r^2$
Storleken på cirkelsektorn i förhållande till cirkeln definieras av mittpunktsvinkeln $\alpha$

Båglängden $b = \frac{\alpha}{360}\cdot 2 \pi r$
Omkretsen $=2r+b$
Cirkelsektorns area $A=\frac{\alpha}{360}\cdot \pi r^2=\frac{br}{2}$

Cirkeln och dess egenskaper

cirkel

Cirkeln är en av de grundläggande geometriska formerna. Cirkelns radie är avståndet från mittpunkten till cirkelns periferin, markerat r i figuren. Diametern är avståndet från perierin genom mittpunkten till periferin på motstående sida, markerat d i figuren. $$Omkrets= \pi d = 2\pi r$$ $$Area= \pi r^2=\frac{\pi d^2}{4}$$

Exempel: Cirkeln 1

En pizza bakas på en kvadratisk plåt med arean 400 cm². Pizzabagaren försöker att minimera degspillet genom att utnyttja så mycket av plåten som möjligt. Bestäm arean av den del av plåten (det svarta området i figuren) som pizzan inte täcker.

Arean av plåten som pizzan inte täcker =

Plåtens area - Pizzans area.
Arean av plåten = $sidan^2$
$\Rightarrow sidan =\sqrt{400}=20\: cm$

Vi antar att pizzan är cirkulär och då den tangerar plåtens sida är pizzans diameter = plåtens sida = 20 cm.
Pizzans area = $\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi \cdot 20^2}{4}=100\pi$
Arean av plåten som pizzan inte täcker =
= 400 cm² - 100 π ≈ 86 cm²

Svar: Arean av plåten som pizzan inte täcker ≈ 86 cm²

Inskrivna geometriska objekt (exemplet med pizzan) har tillämpning inte enbart genom att minimera degspill för pizzabagare. Andra exempel är formgjutning inom industrin och lastoptimering.

Exempel: Cirkeln 2

En cirkel är inskriven i ett koordinatsystem. Sträckan AB är cirkelns diameter där punkten A har koordinaterna (-5, -1) och punkten B (3, 5). Bestäm cirkelns area.

cirkel-exempel

I kapitlet om räta linjens ekvation lärde vi oss att vi kan använda avståndsformeln för att beräkna avståndet mellan två punkter.

Avståndet mellan punkten A (x₁, y₁) och punkten B (x₂, y₂) är lika med cirkelns diameter d:
$d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$. Med våra koordinater insatt får vi:
$\sqrt{(3--5)^{2}+(5--1)^{2}}=$
$\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$
Cirkelns area = $\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi 10^2}{4}=25 \pi$

Svar: Cirkeln area = 25π areaenheter

Exempel: Cirkeln 3

Ett cykelhjuls diameter är 64 cm. Hur många varv rullar hjulet på en sträcka av en kilometer?

cirkeln3

Låt oss kalla diametern på hjulet = d. På ett varv rullar hjulet $\pi \cdot d=\pi \cdot 0,64 = 0,64\pi$ varv.

På 1 km = 1 000 m rullar hjulet $\frac{1000}{0,64\pi}\approx 500$ varv.

Svar: Hjulet rullar cirka 500 varv på 1 km.

Exempel: Cirkeln 4

Cirkeln B:s radie är $\frac34$ gånger mindre än cirkeln A:s. Vad är arean A?

cirkel-exempel2

A:s radie är (3 + x) längdenheter och B:s radie är (2 + x) längdenheter. Enligt texten är B:s radie $\frac34$ gånger mindre än A:s, vilket vi kan uttrycka:

$\frac34(3+x)=2+x$

$\frac94 + \frac{3x}{4}=2+x$

$\frac{x}{4}=\frac14 \Rightarrow x = $ 1 längdenheter.

Arean A = $\pi(3+1)^2=16\pi$ areaenheter.

Svar: Arean A är $16\pi$ areaenheter.

Cirkelsektorn och cirkelsektorns egenskaper

cirkelsektor

En sammanhängande del av cirkeln kallas cirkelsektor. Storleken på cirkelsektorn i förhållande till tillhörande cirkel bestäms av medelpunktsvinkeln $\alpha$.

I en cirkel utgör $\alpha$ 360°
I en halvcirkel är $\alpha = \frac{360}{2}$ = 180°
I en fjärdedels cirkel är $\alpha=\frac{360}{4}$ = 90°

En sammanhängande del av cirkelns omkrets kallas för cirkelbåge. Båglängden, markerad b i figuren, beräknas med:

$$b = \frac{\alpha}{360}\cdot 2 \pi r$$ $$O=2r+b$$ $$A=\frac{\alpha}{360}\cdot \pi r^2=\frac{br}{2}$$ Formlerna för bågens längd och cirkelsektorns area är lätta att komma ihåg. Om vi sätter vinkeln $\alpha$ till 360° får vi samma formler som för den hela cirkeln. En cirkelbåge med vinkeln 360° är lika med cirkelns omkrets och en cirkelsektor med vinkeln 360° är lika med cirkelns area. Skillnaden mellan cirkeln och cirkelsektorn är alltså kvoten $\frac{\alpha}{360}$.

Exempel: Cirkelsektorn

En cirkelsektor har radien 1 cm och vinkeln 60 grader. Beräkna dess omkrets och area.

cirklsektor

Omkretsen = 2 · radien + längden på bågen =
= 2r + b
$b = \frac{\alpha}{360}\cdot 2 \pi r =\frac{60}{360}\cdot 2 \pi \cdot 1=$
$=\frac{1}{60}\cdot 2 \pi$ ≈ 1,0 cm.

Vi kan nu beräkna omkretsen =
= 2 · 1 + 1,0 = 3,0 cm.

Arean = $\frac{br}{2} = \frac{1 \cdot 1}{2}$ ≈ 0,5 cm²

Svar: Cirkelsektorns omkrets = 3 cm och arean = 1 cm².

Exempel: Cirkelsektorn 2

Hur långt rör sig gungan mellan sina två vändlägen?.

cirkelsektor exempel

Sträckan som gungan rör sig mellan sina två vändlägen har formen av en cirkelsektor med medelpunktsvinkeln $2 \cdot 67,5^o = 135^o$. Längden på gungans linor kan vi likställa med radien på cirkeln. Därmed kan vi beräkna sträckan s:

s = $\frac{135^o}{360^o}\cdot 2 \pi \cdot 2 = \frac38 \cdot 4 \pi=\frac{3 \pi}{2} m$

Svar: Gungan rör sig $\frac{3 \pi}{2} m.$