Ekvationer i Bråkformat på Högskoleprovet

$\frac{27}{x}=3.$ Vad är $\boldsymbol{x}?$

Vi multiplicerar båda led med x vilket ger:
$x\left(\frac{27}{x}\right)=x\cdot3$
$27 = 3x$

Nu dividerar vi båda led med 3 vilket ger:
$\frac{27}3=\frac{3x}{3}$
$x=9$

$\frac {x}4 + \frac23=1$. Vad är $\boldsymbol{x?}$

Multiplicerar vi nämnarna får vi gemensam nämnare $= 3 \cdot 4 = 12.$

Vi förlänger bråken i vänsterledet genom att multiplicera termen $\frac{x}4$ med $\frac33$ och termen $\frac23$ med $\frac44$

$\frac {x}4 + \frac23=1$

$\frac33\left(\frac {x}4\right) + \frac44\left(\frac23\right)=1$

$\frac {3x}{12} + \frac{8}{12}=1$ Nu kan vi skriva på ett bråkstreck:

$\frac{3x + 8}{12}=1$

Vi multiplicerar bägge led med $12:$

$12\left (\frac{3x + 8}{12}\right)=12 \cdot 1$

$3x + 8 = 12$

Vi subtraherar bägge led med $-8:$

$3x + 8 - 8 =12-8$

$3x=4$

Vi dividerar bägge led med $3:$

$x=\frac{4}{3}$

$\frac{2x}4+\frac{4x}8+\frac{8x}{16}=1$ Vad är $\boldsymbol{x?}$

Här ser vi direkt att vi kan förkorta våra tre bråk, då de är skrivna som multiplar av $2:$

1. Första termen i vänsterledet är $\frac{2x}4$
   Delar vi både nämnare och täljare med $2$ får vi
   $\frac{2x/2}{4/2} = \frac{x}2$.
2. Andra termen i vänsterledet är $\frac{4x}8$
   Vi delar nämnare och täljare först med $2$ och sedan med $2$ igen.
   $\frac{4x/2}{8/2}=\frac{2x/2}{4/2}=\frac{x}{2}$.
3. Den tredje termen är $\frac{8x}{16}$
   Vi delar nämnare och täljare först med $2$ och sedan med $2$ igen och med $2$ igen.
   $\frac{8x/2}{16/2}=\frac{4x/2}{8/2}=\frac{2x/2}{4/2}=\frac{x}2$.

Nu har vi förkortat de tre bråken så långt som möjligt. Alla tre bråken har nu samma nämnare $= 2$ och vi kan direkt skriva på ett bråkstreck:

$\frac{2x}4+\frac{4x}8+\frac{8x}{16}=1$

$\frac{x+x+x}2=1$

$\frac{3x}2=1$ Vi multiplicerar bägge led med 2:

$2 \cdot \frac{3x}{2} = 2 \cdot 1$

$3x = 2$ Vi dividerar bägge led med 3:

$\frac{3x}{3} = \frac23$ Vilket slutligen ger:

$x = \frac23$

$\frac{x^2z}{3x}-\frac{yz}{6}=\frac{xz-z}{3}$

Vad är $\boldsymbol{y?}$

Vi multiplicerar båda led med gemensam nämnare $3$ och förkortar bort mot nämnare:

$3\cdot\frac{x^2z}{3x}-3\cdot\frac{yz}{6}=3\cdot\frac{xz-z}{3}$

$\frac{x^2z}{x}-\frac{yz}{2}=xz-z$

Vi faktoriserar $z$ i båda led och förkortar bort:

$z(\frac{x^2}{x}-\frac{y}{2})=z(x-1)$

$\frac{x^2}{x}-\frac{y}{2}=x-1$

Vi kan förenkla den första $x-$termen i vänsterledet:

$x-\frac{y}{2}=x-1$

Även $x$ kan förkortas bort och vi har enbart $y$ kvar:

$-\frac{y}{2}=-1$

Vi förlänger båda led med $-2$ vilket slutligen ger oss $y$:

$y=2$

Arean $A$ av en cirkel bestäms av formeln:

$A=\frac{\pi \cdot d^2}4$ Vad är $\boldsymbol{d?}$

Korsvis multiplikation ger direkt att:
$d^2=\frac{4\cdot A}{\pi}$ och $d =\sqrt{\frac{4\cdot A}{\pi}}$

$\large{\frac{3x}{\frac12}}\normalsize{=6}$ Vad är $\boldsymbol{x?}$

$\large{\frac{3x}{\frac12}}\normalsize{ = 6} $ Först skriver vi talet $3x$ som $\frac{3x}{1}$ eftersom det blir tydligare:

$\large{\frac{\frac{3x}{1}}{\frac12}}\normalsize{= 6}$

Nämnaren = $\frac12$. Vi multiplicerar täljaren med den inverterade nämnaren = $\frac21$:

${\frac{3x}{1}}\cdot (\frac21) = 6$

$6x = 6$

$x = 1$

I en grupp på $30$ personer är förhållandet mellan antalet män och antalet kvinnor $3:2.$ Hur många i gruppen är kvinnor?

Vi kallar antalet män $= m$ och antalet kvinnor $= k.$ initialt får vi två ekvationer:

1. $m+k=30$
2. $\frac{m}{k}=\frac32$

Vi söker antalet kvinnor och väljer därför att uttrycka ekvation två i män:

$m=\frac{3k}{2}$ och sätter in i ekvation 1, vilket ger:

$\frac{3k}{2}+k=30\Rightarrow \frac{5k}{2}=30\Rightarrow k=\frac{2\cdot 30}{5}=12$