Funktioner på Högskoleprovet

Sammanfattning Funktioner på Högskoleprovet

Definitionsmängden är de värden som $x$ kan anta.
Värdemängden är de värden som funktionen kan anta.
Proportionalitet skrivs $\frac{y}{x}=k$ eller $y=k \cdot x$ där $k$ är proportionalitetskonstanten.
Proportionalitet syns i ett diagram som en rät linje. $\frac{y}{x}$ är konstant och förhållandet mellan $x$ och funktionen (exempelvis $y$) är alltid densamma, i vilken punkt man än tittar.
Omvänd proportionalitet skrivs $y=k \cdot \frac{1}{x}$. Om $x$ ökar, minskar $y.$
Avståndsformeln ger avståndet mellan två kurvor:

$d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

Mittpunktsformeln ger koordinaten mellan två punkter $(x_m, y_m)$:

$x_m=\frac{x_1+x_2}{2}$ och $y_m=\frac{y_1+y_2}{2}$

Funktionsbegreppet

En funktion beskriver ett samband mellan två eller flera variabler. En funktion kan skrivas på olika sätt, exempelvis:

$y = 2x - 3$
$f(x) = \frac{2x}3$
$g(x) = x^2$

Samtliga dessa exempel beskriver sambandet mellan funktionen och värdet på $x.$

Om vi för $f(x) = 2x - 3$ vill veta funktionens värde vid ett specifikt värde på $x,$ exempelvis $x = 4,$ kan detta beskrivas som $f(4) = 2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5.$

Exempel: Funktioner

Funktionen $f$ ges av $f(t) = 10 - t^2.$ Vad är $\boldsymbol{f(3)?}$

$f(3)$ är samma sak som att beräkna funktionens värde då $t = 3.$ Vi ersätter $t$ med $3$:

$f(3) = 10 - 3^2 = 10 - 9 = 1.$

Svar: $f(3) = 1.$

Exempel: Funktioner 2

$f(x) = (x^2 + x)^2$
$g(x) = \frac{f(x)}{x^2}$

Vad är $\boldsymbol{g(x)?}$

$g(x)=\frac{(x^2 + x)^2}{x^2}=\frac{x^4+x^2+2x^3}{x^2}=$

$=\frac{x^2(x^2+1+2x)}{x^2}=x^2+1+2x=(x+1)^2$

Svar: $g(x) = (x+1)^2.$

Definitionsmängd och värdemängd

För en viss funktion, exempelvis $f(x),$ så är definitionsmängden de värden som variabeln $x$ kan anta. Funktionens värdemängd är de värden som funktionen $f$ kan anta.

definitionsmängd-och-värdemängd

Proportionalitet

Om kvoten mellan två variabler är konstant är variablerna proportionella. Detta kan skrivas:
$$\frac{y}{x}=k$$

eller

$$y=k \cdot x$$ Konstanten $k$ kallas proportionalitetskonstanten. Proportionalitet syns i ett diagram som en rät linje eftersom förhållandet mellan $x$ och $y$ alltid är detsamma, i vilken punkt man än tittar.

proportionalitet

Exempel: Proportionalitet

Kalle säljer bär på torget. Han säljer bären för priset:

En liter $20\, kr.$
Fem liter $80\, kr.$
Tio liter $150\, kr.$

Är priset proportionellt mot volymen bär?

proportionalitet-bär

Vi vet att om priset är proportionellt mot volymen bär så är priset per liter samma oavsett hur många liter som en kund köper. För att testa proportionalitet räknar vi ut literpriset för en liter, fem liter och tio liter:

Literpriset för en liter bär = $\frac{20}{1}=20\, kr.$
Literpriset för fem liter bär $= \frac{80}{5}=16\, kr.$
Literpriset för tio liter bär $= \frac{150}{10}=15\, kr.$

Som vi ser så får vi inte samma pris per liter och därmed råder det ingen proportionalitet mellan priset och volymen bär. Ju fler liter bär en kund köper, desto billigare är literpriset.

Svar: Nej, priset är inte proportionellt mot volymen bär

Omvänd proportionalitet

Om två variabler, till exempel $x$ eoch $y$ kan skrivas: $$y=k \cdot \frac{1}{x}$$ där $k$ är proportionalitetskonstanten, säger man att $y$ är omvänt proportionell mot $x.$ Det innebär att när $x$ ökar så minskar $y.$ Eftersom $x$ är nämnare i bråket så kan funktionen inte anta $x = 0.$

Exempel på omvänd proportionalitet är hastighet som är omvänd proportionell mot tid: $hastighet=\frac{\text{sträcka}}{\text{tid}}$

omvänd-proportionalitet

Avståndsformeln

Avståndsformeln, som är en tillämpning av Pythagoras sats, kan användas för att beräkna avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem. Avståndsformeln skrivs: $$d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$$

Exempel: Avståndsformeln

Beräkna avståndet mellan punkterna $\boldsymbol{(4, 3)}$ och $\boldsymbol{(-1, -1).}$

Vi sätter in punkterna i avståndsformeln vilket ger:

$d=\sqrt{(4--1)^{2}+(3--1)^{2}}=$

$=\sqrt{5^{2}+4^{2}}=$

$=\sqrt{41}$

Svar: Avståndet mellan punkterna är $\sqrt{41}$ längdenheter.

avståndsformeln

Mittpunktsformeln

Mittpunktsformeln ger mittpunkten mellan två punkter. Koordinaterna för mittpunkten $M$ mellan två punkter ($x_1, y_1$) och ($x_2, y_2$) ges av formeln: $$x_m=\frac{x_1+x_2}{2}$$ $$y_m=\frac{y_1+y_2}{2}$$

Exempel: Mittpunktsformeln

Bestäm mittpunktens koordinater mellan de två punkterna i koordinatsystemet.

mittpunktsformeln

Vi läser först av de bägge punkternas koordinater:

Den nedre punkten har koordinaterna $(-1, -2).$ och den övre $(2, 3).$

Mittpunktsformeln ger koordinaterna till mittpunkten $P_m=(x_m,y_m):$

$x_m=\frac{-1+2}{2}=0,5$

$y_m=\frac{-2+3}{2}=0,5$

Svar: Mittpunktens koordinater är $(0,5; 0,5).$