Hem Interaktiva Övningsprov Lösningar Gamla Högskoleprov Matematiken på Högskoleprovet Om Högskoleprovet Frågor och Svar - FAQ
Allarätt.nu Högskoleprovet Logotype
HÖGSKOLEPROVET

Allarätt.nu Högskoleprovet LogotypeHÖGSKOLEPROVET

Högskoleprovet - Gör Våra Övningsprov och Öka Dina Chanser att Komma in på Drömutbildningen!

 

STARTA Övningsprov    navigate_next
function_icon

Funktioner

Sammanfattning

Funktionsbegreppet

En funktion beskriver ett samband mellan två eller flera variabler. En funktion kan skrivas på olika sätt, exempelvis y = 2x - 3 eller f(x) = $\frac{2x}3$ eller g(x) = x2 beskriver samtliga sambandet mellan en funktion och värdet på x.

Om vi för f(x) = 2x - 3 vill veta funktionens värde vid ett specifikt värde på x, exempelvis x = 4, kan detta beskrivas som f(4) = 2 · 4 - 3 = 8 - 3 = 5.

Exempel: Funktioner

Funktionen f ges av f(t) = 10 - t2. Beräkna f(3).

f(3) är samma sak som att beräkna funktionens värde då t = 3. Om vi ersätter t med 3 får vi:
f(3) = 10 - 32 = 10 - 9 = 1.

Svar: f(3) = 1.

Definitionsmängd och värdemängd

För en viss funktion, exempelvis f(x), så är definitionsmängden de värden som variabeln x kan anta. Funktionens värdemängd är de värden som funktionen f kan anta.

definitionsmängd-och-värdemängd

Proportionalitet

Om kvoten mellan två variabler är konstant är variablerna proportionella. Detta kan skrivas:
$$\frac{y}{x}=k$$
eller
$$y=k \cdot x$$ Konstanten k kallas proportionalitetskonstanten. Proportionalitet syns i ett diagram som en rät linje eftersom förhållandet mellan x och y alltid är detsamma, i vilken punkt man än tittar.

proportionalitet

Exempel: Proportionalitet

Kalle säljer bär på torget. Han säljer bären för priset:

Är priset proportionellt mot volymen bär?

Vi vet att om priset är proportionellt mot volymen bär så är priset per liter samma oavsett hur många liter som en kund köper. För att testa proportionalitet räknar vi ut literpriset för 1 liter, 5 liter och 10 liter:

Som vi ser så får vi inte samma pris per liter och därmed råder det ingen proportionalitet mellan priset och volymen bär. Ju fler liter bär en kund köper, desto billigare är literpriset.

Svar: Nej, priset är inte proportionellt mot volymen bär

Omvänd proportionalitet

Om två variabler, till exempel x och y kan skrivas som: $$y=k \cdot \frac{1}{x}$$ där k är proportionalitetskonstanten, säger man att y är omvänt proportionell mot x. Det innebär att när x ökar så minskar y. Eftersom x är nämnare i bråket så kan funktionen inte anta x = 0.

omvänd-proportionalitet

Avståndsformeln

Avståndsformeln, som är är en tillämpning av Pythagoras sats, kan användas för att beräkna avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem. Avståndsformeln skrivs: $$d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$$
Exempel: Avståndsformeln

Beräkna avståndet mellan punkterna (4, 3) och (-1, -1)

Vi sätter in punkterna i avståndsformeln vilket ger:
$d=\sqrt{(4--1)^{2}+(3--1)^{2}}=\\ \sqrt{5^{2}+4^{2}}=\\ \sqrt{41}$

Svar: Avståndet mellan punkterna är $\sqrt{41}$ längdenheter.

Mittpunktsformeln

Mittpunktsformeln ger mittpunkten mellan två punkter. Koordinaterna för mittpunkten M mellan två punkter (x1, y1) och (x2, y2) ges av formeln: $$x_m=\frac{x_1+x_2}{2}$$ $$y_m=\frac{y_1+y_2}{2}$$
Exempel: Mittpunktsformeln

Bestäm mittpunktens koordinater mellan de två punkterna i koordinatsystemet.

mittpunktsformeln

Vi läser först av de bägge punkternas koordinater:
Den nedre punkten har koordinaterna: (−1, −2).
Den övre punkten har koordinaterna: (2, 3).
Mittpunktsformeln ger koordinaterna till mittpunkten:
$x_m=\frac{-1+2}{2}=0,5$
$y_m=\frac{-2+3}{2}=0,5$

Svar: Mittpunktens koordinater är (0,5; 0,5).