Potensregler på Högskoleprovet

Sammanfattning Potensregler på Högskoleprovet

Potensregel	Exempel
$a^x\cdot a^y = a^{x+y}$	$2^3\cdot 2^4 = 2^{3+4}=2^7=128$
$\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$	$\frac{2^5}{2^3}=2^{5-3}=2^2=4$
${({a}^{x})}^{y}={a}^{x\cdot y}$	${({2}^{3})}^{2}={2}^{3\cdot 2}=2^6=64$
${(a\cdot b)}^{x}={a}^{x}\cdot {b}^{x}$	$144=12^2={(3\cdot 4)}^{2}={3}^{2}\cdot {4}^{2}$
$\left ( \frac{a}{b} \right )^x=\frac{a^x}{b^x}$	$\frac{4^3}{2^3}=\left ( \frac{4}{2} \right )^3=2^3=8$
$a^{-x}=\frac{1}{a^x}$	$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$
${a}^{0}=1$	${10}^{0}=1$

Potens, bas och exponent

Talet $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ kan vi skriva $3^4$ och utläses tre upphöjt till fyra. Man säger då att man skriver talet på potensform. Talet tre kallas bas och talet fyra kallas exponent.
$$bas^{exponent}=potens$$

Tiopotenser (Grundpotensform)

Tiopotenser eller grundpotensform som det också kallas är en potens med basen 10, exempelvis:

$10 = 1 \cdot 10 = 10^1$
$100 = 10 \cdot 10 = 10^2$
$1 000 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^3$

Tiopotenser som är mindre än ett skrivs med negativ exponent. Exempelvis:

En tiondel $= 0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$
En hundradel $= 0,01 = \frac{1}{100} = 10^{-2}$
En tusendel $= 0,001 = \frac{1}{1000} = 10^{-3}$

Potensreglerna

De sju potensreglerna använder vi för att beräkna uppgifter med potenser. Var alltid noggrann med att kontrollera förutsättningarna för att använda potensreglerna, exempelvis att du har samma bas då du multiplicerar potenser:

Multiplikation av potenser: $a^x\cdot a^y = a^{x+y}$
Division av potenser: $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$
Potens av potenser: ${({a}^{x})}^{y}={a}^{x\cdot y}$
Potens av en produkt: ${(a\cdot b)}^{x}={a}^{x}\cdot {b}^{x}$
Potens av en kvot: $\left ( \frac{a}{b} \right )^x=\frac{a^x}{b^x}$
Potens med negativ exponent: $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$
Potens med exponenten noll: ${a}^{0}=1$

Multiplikation av potenser

För potenser som har samma bas gäller potensregeln
$a^x \cdot a^y = a^{x + y}$

Exempel: Multiplikation av Potenser 1

Beräkna $\boldsymbol{4^2 \cdot 4^3}$

$4^2 \cdot 4^3 = 4^{2+3}=4^{5}$

Svar: $4^5$

Exempel: Multiplikation av Potenser 2

Skriv $\boldsymbol{(4 \cdot 4) \cdot (4 \cdot 4 \cdot 4)}$ på potensform

$(4 \cdot 4) \cdot (4 \cdot 4 \cdot 4) = 4^2 \cdot 4^3 = 4^{2+3}=4^5$

Svar: $4^5$

Division av potenser

Vid division av potenser som har samma bas gäller: $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$

Exempel: Division av Potenser 1

Beräkna $\boldsymbol{\frac{6^4}{6^2}}$

$\frac{6^4}{6^2}=6^{4-2}=6^2$

Svar: $6^2$

Exempel: Division av Potenser 2

Skriv om $\boldsymbol{\frac{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}{6 \cdot 6}}$ på potensform

$\frac{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}{6 \cdot 6} = \frac{6^4}{6^2} = 6^{4-2}=6^2$

Svar: $6^2$

Potens av potenser

Potens av en potens kan skrivas $(a^x)^y=a^{x\cdot y)$

Exempel: Potens av en Potens

Beräkna $\boldsymbol{(7^2)^3}$

$(7^2)^3=7^{2\cdot 3}=7^6$

Svar: $7^6$

Potens av en produkt

Potens av en produkt kan skrivas $(a \cdot b)^x=a^x \cdot b^x$

Exempel: Potens av en Produkt

Beräkna $\boldsymbol{(7 \cdot 6)^3}$

$(7 \cdot 6)^3 = 7^3 \cdot 6^3$

Svar: $7^3 \cdot 6^3$

Potens av en kvot

Potens av en kvot kan skrivas $\left(\frac{a}{b}\right)^x$

Exempel: Potens av en Kvot

Beräkna $\boldsymbol{\left(\frac{7}{5}\right)^3}$

$\left(\frac{7}{5}\right)^3=\frac{7^3}{5^3}$

Svar: $\frac{7^3}{5^3}$

Potens med negativ exponent

Potens med negativ exponent kan skrivas $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$

$-1^x$ är negativ då $x$ är udda och positiv om $x$ är jämn. Exempelvis är $-1^3=-1$ och $-1^2=1$. Det här kan vi enkelt inse om vi betänker att multiplikation med dubbla minus är plus:

$-1^3=-1\cdot-1\cdot-1=$
$=-1\cdot(-1\cdot-1)=-1\cdot1=-1$
$-1^2=-1\cdot-1=1$.

Skälet att vi nämner det här är att det förekommer uppgifter på Högskoleprovet som testar den här regeln.

Exempel: Potens med Negativ Exponent

Skriv talet $\boldsymbol{4^{-3}}$ som en kvot

$4^{-3} = \frac{1}{4^3}$

Svar: $\frac{1}{4^3}$

Exempel: Potens med Negativ Exponent 2

Vilket svarsalternativ motsvarar $\boldsymbol{\frac{3}{3^x}?}$

$3^{x-1}$
$3^{x+1}$
$3^{1-x}$
$3^{-1-x}$

$\frac{3}{3^x}=3\cdot3^{-x}=3^1\cdot3^{-x}=3^{1-x}$

Svar: C. $3^{1-x}$

Exempel: Potens med Negativ Exponent 3

Vad är $\boldsymbol{-1^3(-1^8-(-1^{-9}))?}$

${-1^3(-1^8-(-1^{-9})})=$

$=-1(1-(-1))=-1(1+1)=-2$

Svar: $-2$

Potens med exponenten noll

Potenser med exponenten noll är lika med ett:
$a^0= 1$

Bestäm exponenter i tal med olika bas

Viktigt att tänka på är vilka förutsättningar som finns för att använda potensreglerna. En vanlig uppgift består i att bestämma exponenterna $x$ och $y$ för olika baser. Ibland kan vi lösa dessa uppgifter genom att byta bas, vilket vi visar i nästa uppgift.

Exempel: Bestäm exponenter i tal med olika bas

$2^x \cdot 4^y = 16$
Vad är $\boldsymbol{x+2y ?}$

Vi vill utnyttja potensreglerna, men först måste vi göra om alla ingående tal till samma bas:

Enligt potensreglerna: $2^x \cdot 4^y = 2^x \cdot 2^{2y} = 2^4$

Nu har vi samma bas och kan då sätta exponenterna lika med varandra:

$x+2y=4$

Viktigt att tänka på är att potensreglerna för multiplikation, division och potens av potens enbart gäller då vi har samma bas!

Svar: $x + 2y = 4$

Exempel: Bestäm exponenter i tal med olika bas 2

$3x - y = 12$
Vad är $\boldsymbol{\large{\frac{8^x}{2^y}}?}$

Enligt potensreglerna:

$8^x=(2^3)^x=2^{3x}$ och $\frac{1}{2^y}=2^{-y}$

$\large{\frac{8^x}{2^y} = \frac{2^{3x}}{2^y}=2^{3x-y}=2^{12}}$

Svar: $2^{12}$

Potensreglerna, summering

Potensregel	Skrivs som
Multiplikation av potenser	$a^x\cdot a^y = a^{x+y}$
Division av potenser	$\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$
Potens av en potens	${({a}^{x})}^{y}={a}^{x\cdot y}$
Potens av en produkt	${(a\cdot b)}^{x}={a}^{x}\cdot {b}^{x}$
Potens av en kvot	$\left ( \frac{a}{b} \right )^x=\frac{a^x}{b^x}$
Potens med negativ exponent	$a^{-x}=\frac{1}{a^x}$
Potens med exponenten noll	${a}^{0}=1$