HÖGSKOLEPROVET
| Potensregel | Exempel |
|---|---|
| $a^x\cdot a^y = a^{x+y}$ | $2^3\cdot 2^4 = 2^{3+4}=2^7=128$ |
| $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$ | $\frac{2^5}{2^3}=2^{5-3}=2^2=4$ |
| ${({a}^{x})}^{y}={a}^{x\cdot y}$ | ${({2}^{3})}^{2}={2}^{3\cdot 2}=2^6=64$ |
| ${(a\cdot b)}^{x}={a}^{x}\cdot {b}^{x}$ | $144=12^2={(3\cdot 4)}^{2}={3}^{2}\cdot {4}^{2}$ |
| $\left ( \frac{a}{b} \right )^x=\frac{a^x}{b^x}$ | $\frac{4^3}{2^3}=\left ( \frac{4}{2} \right )^3=2^3=8$ |
| $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$ | $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$ |
| ${a}^{0}=1$ | ${10}^{0}=1$ |
Tiopotenser eller grundpotensform som det också kallas är en potens med basen 10, exempelvis:
Tiopotenser som är mindre än ett skrivs med negativ exponent. Exempelvis:
De sju potensreglerna använder vi för att beräkna uppgifter med potenser. Var alltid noggrann med att kontrollera förutsättningarna för att använda potensreglerna, exempelvis att du har samma bas då du multiplicerar potenser:
För potenser som har samma bas gäller potensregeln
$a^x \cdot a^y = a^{x + y}$
Beräkna $\boldsymbol{4^2 \cdot 4^3}$
$4^2 \cdot 4^3 = 4^{2+3}=4^{5}$
Svar: $4^5$Skriv $\boldsymbol{(4 \cdot 4) \cdot (4 \cdot 4 \cdot 4)}$ på potensform
$(4 \cdot 4) \cdot (4 \cdot 4 \cdot 4) = 4^2 \cdot 4^3 = 4^{2+3}=4^5$
Svar: $4^5$Vid division av potenser som har samma bas gäller: $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$
Beräkna $\boldsymbol{\frac{6^4}{6^2}}$
$\frac{6^4}{6^2}=6^{4-2}=6^2$
Svar: $6^2$Skriv om $\boldsymbol{\frac{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}{6 \cdot 6}}$ på potensform
$\frac{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}{6 \cdot 6} = \frac{6^4}{6^2} = 6^{4-2}=6^2$
Svar: $6^2$Potens av en potens kan skrivas $(a^x)^y=a^{x\cdot y)$
Beräkna $\boldsymbol{(7^2)^3}$
$(7^2)^3=7^{2\cdot 3}=7^6$
Svar: $7^6$Potens av en produkt kan skrivas $(a \cdot b)^x=a^x \cdot b^x$
Beräkna $\boldsymbol{(7 \cdot 6)^3}$
$(7 \cdot 6)^3 = 7^3 \cdot 6^3$
Svar: $7^3 \cdot 6^3$Potens av en kvot kan skrivas $\left(\frac{a}{b}\right)^x$
Beräkna $\boldsymbol{\left(\frac{7}{5}\right)^3}$
$\left(\frac{7}{5}\right)^3=\frac{7^3}{5^3}$
Svar: $\frac{7^3}{5^3}$Potens med negativ exponent kan skrivas $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$
$-1^x$ är negativ då $x$ är udda och positiv om $x$ är jämn. Exempelvis är $-1^3=-1$ och $-1^2=1$. Det här kan vi enkelt inse om vi betänker att multiplikation med dubbla minus är plus:
Skriv talet $\boldsymbol{4^{-3}}$ som en kvot
$4^{-3} = \frac{1}{4^3}$
Svar: $\frac{1}{4^3}$Vilket svarsalternativ motsvarar $\boldsymbol{\frac{3}{3^x}?}$
$\frac{3}{3^x}=3\cdot3^{-x}=3^1\cdot3^{-x}=3^{1-x}$
Svar: C. $3^{1-x}$Vad är $\boldsymbol{-1^3(-1^8-(-1^{-9}))?}$
${-1^3(-1^8-(-1^{-9})})=$
$=-1(1-(-1))=-1(1+1)=-2$
Svar: $-2$Potenser med exponenten noll är lika med ett:
$a^0= 1$
Viktigt att tänka på är vilka förutsättningar som finns för att använda potensreglerna. En vanlig uppgift består i att bestämma exponenterna $x$ och $y$ för olika baser. Ibland kan vi lösa dessa uppgifter genom att byta bas, vilket vi visar i nästa uppgift.
$2^x \cdot 4^y = 16$
Vad är $\boldsymbol{x+2y ?}$
Vi vill utnyttja potensreglerna, men först måste vi göra om alla ingående tal till samma bas:
Enligt potensreglerna: $2^x \cdot 4^y = 2^x \cdot 2^{2y} = 2^4$
Nu har vi samma bas och kan då sätta exponenterna lika med varandra:
$x+2y=4$
Viktigt att tänka på är att potensreglerna för multiplikation, division och potens av potens enbart gäller då vi har samma bas!
Svar: $x + 2y = 4$$3x - y = 12$
Vad är $\boldsymbol{\large{\frac{8^x}{2^y}}?}$
Enligt potensreglerna:
$8^x=(2^3)^x=2^{3x}$ och $\frac{1}{2^y}=2^{-y}$
$\large{\frac{8^x}{2^y} = \frac{2^{3x}}{2^y}=2^{3x-y}=2^{12}}$ Svar: $2^{12}$| Potensregel | Skrivs som |
|---|---|
| Multiplikation av potenser | $a^x\cdot a^y = a^{x+y}$ |
| Division av potenser | $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$ |
| Potens av en potens | ${({a}^{x})}^{y}={a}^{x\cdot y}$ |
| Potens av en produkt | ${(a\cdot b)}^{x}={a}^{x}\cdot {b}^{x}$ |
| Potens av en kvot | $\left ( \frac{a}{b} \right )^x=\frac{a^x}{b^x}$ |
| Potens med negativ exponent | $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$ |
| Potens med exponenten noll | ${a}^{0}=1$ |