Potensregler

Sammanfattning

Potensregel	Exempel
$a^x\cdot a^y = a^{x+y}$	$2^3\cdot 2^4 = 2^{3+4}=2^7=128$
$\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$	$\frac{2^5}{2^3}=2^{5-3}=2^2=4$
${({a}^{x})}^{y}={a}^{x\cdot y}$	${({2}^{3})}^{2}={2}^{3\cdot 2}=2^6=64$
${(a\cdot b)}^{x}={a}^{x}\cdot {b}^{x}$	$144=12^2={(3\cdot 4)}^{2}={3}^{2}\cdot {4}^{2}$
$\left ( \frac{a}{b} \right )^x=\frac{a^x}{b^x}$	$\frac{4^3}{2^3}=\left ( \frac{4}{2} \right )^3=2^3=8$
$a^{-x}=\frac{1}{a^x}$	$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$
${a}^{0}=1$	${10}^{0}=1$

Potens, bas och exponent

Talet 3 · 3 · 3 · 3 kan vi skriva som 3⁴ och utläses tre upphöjt till fyra. Man säger då att man skriver talet på potensform. Talet tre kallas bas och talet fyra kallas exponent.
$$bas^{exponent}=potens$$

Tiopotenser (Grundpotensform)

Tiopotenser eller grundpotensform som det också kallas är en potens med basen 10, exempelvis:

10 = 1 · 10 = 10¹
100 = 10 · 10 = 10²
1 000 = 10 · 10 · 10 = 10³

Tiopotenser som är mindre än 1 skrivs med negativ exponent. Exempelvis:

En tiondel = 0,1 = $\frac{1}{10}$ = 10^-1
En hundradel = 0,01 = $\frac{1}{100}$ = 10^-2
En tusendel = 0,001 = $\frac{1}{1000}$ = 10^-3

Multiplikation av potenser

För potenser som har samma bas gäller potensregeln
a^x · a^y = a^{x + y}.

Exempel: Multiplikation av Potenser 1

Beräkna 4² · 4³

4² · 4³ = 4^{2 + 3} = 4⁵

Svar: 4⁵

Exempel: Multiplikation av Potenser 2

Skriv om (4 · 4) · (4 · 4 · 4) på potensform

(4 · 4) · (4 · 4 · 4) = 4² · 4³ = 4^{2 + 3} = 4⁵

Svar: 4⁵

Division av potenser

Vid division av potenser som har samma bas gäller: $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$

Exempel: Division av Potenser 1

Beräkna $\frac{6^4}{6^2}$

$\frac{6^4}{6^2}=6^{4-2}=6^2$

Svar: $6^2$

Exempel: Division av Potenser 2

Skriv om $\frac{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}{6 \cdot 6}$ på potensform

$\frac{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}{6 \cdot 6} = \frac{6^4}{6^2} = 6^{4-2}=6^2$

Svar: 6²

Potens av potenser

Potens av en potens kan skrivas (a^x)^y = a^{x · y}.

Exempel: Potens av en Potens

Beräkna (7²)³

(7²)³ = 7^{2 · 3} = 7⁶

Svar: 7⁶

Potens av en produkt

Potens av en produkt kan skrivas (a · b)^x = a^x · b^x.

Exempel: Potens av en Produkt

Beräkna (7 · 6)³

(7 · 6)³ = 7³ · 6³

Svar: 7³ · 6³

Potens av en kvot

Potens av en kvot kan skrivas $\left(\frac{a}{b}\right)^x=\frac{a^x}{b^x}$.

Exempel: Potens av en Kvot

Beräkna $\left(\frac{7}{5}\right)^3=\frac{7^3}{5^3}$.

Svar: $\frac{7^3}{5^3}$

Potens med negativ exponent

Potens med negativ exponent kan skrivas $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$.

Exempel: Potens med Negativ Exponent

Skriv talet 4^-3 som en kvot

4^-3 = $\frac{1}{4^3}$

Svar: $\frac{1}{4^3}$

Potens med exponenten noll

Potenser med exponenten noll är lika med ett:
$a^0= 1$

Sammanfattning potensregler

Potensregel	Skrivs som
Multiplikation av potenser	$a^x\cdot a^y = a^{x+y}$
Division av potenser	$\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$
Potens av en potens	${({a}^{x})}^{y}={a}^{x\cdot y}$
Potens av en produkt	${(a\cdot b)}^{x}={a}^{x}\cdot {b}^{x}$
Potens av en kvot	$\left ( \frac{a}{b} \right )^x=\frac{a^x}{b^x}$
Potens med negativ exponent	$a^{-x}=\frac{1}{a^x}$
Potens med exponenten noll	${a}^{0}=1$