Trianglar på Högskoleprovet
Sammanfattning Trianglar på högskoleprovet
- Gemensamt för alla trianglar:
- $Omkrets= a + b + c$
- $Area= \frac{b \cdot h}{2}$
- $Vinkelsumma = x + y + z = 180°$
- Triangelns största vinkel är motstående triangelns längsta sida, osv. Ex. I triangeln ovan om c > b > a så gäller att x > z > y.
- I en liksidig triangel är alla sidorna lika långa och alla vinklarna = 60°
- I en likbent triangel är två sidor lika långa och basvinklarna lika stora.
- I en rätvinklig triangel gäller pythagoras sats $c^2=a^2+b^2$. Sidan c är hypotenusan som är den längsta sidan. a och b är kateter.
- Yttervinkelsatsen: En yttervinkel är lika med vinkelsumman av de två motstående inre vinklarna i triangeln.
- Triangelolikheten: Längden av en viss sida är mindre än eller lika med summan av längderna av de övriga sidorna, men större än eller lika med differensen mellan dessa sidor.
Allmänt om Trianglar
Triangeln är en av de grundläggande geometriska formerna. De typer av trianglar som vanligen förekommer i högskoleprovet är:
- Spetsvinklig: Alla vinklar är mindre än 90°.
- Rätvinklig: En vinkel är rät (lika med 90°).
- Trubbvinklig: Om en av vinklarna är större än 90°.
- Likbent: Om två sidor är lika långa.
- Liksidig: Om alla sidor är lika långa.
Gemensamt för alla trianglar är omkrets, area och vinkelsumma:
$$Omkrets= a + b + c$$
$$Area= \frac{b \cdot h}{2}$$
$$Vinkelsumma = x + y + z = 180°$$
Exempel: Triangel
Beräkna arean, omkretsen och vinklarna i triangeln ABC.
Triangeln ABC är trubbvinklig, eftersom en vinkel är större än 90°, och även likbent, då två sidor är lika långa och de två basvinklarna x är lika stora.
Svar:
- Arean = $\frac{b \cdot h}{2}=\frac{5 \cdot 3}{2}=7,5$ areaenheter
Observera att höjden i en triangel alltid är vinkelrät mot basen.
- Omkretsen = sidan AB + sidan BC + sidan CA = 5 + 10 + 5 = 20 längdenheter
- Vinkelsumman i triangeln = 2,5x + x + x = 180°
x = $\frac{180}{4,5}$ = 40°
Dvs två vinklar är 40° och en vinkel är 2,5 · 40° = 100°
Rätvinklig triangel och Pythagoras sats
Triangar med en rät sida kallas rätvinklig triangel. Enligt Pythagoras sats så gäller att för en rätvinklig triangels sidor är Kvadraten på hypotenusan lika med summan av kvadraterna på kateterna. Hypotenusan är den längsta sidan i en rätvinklig triangel och är motstående sida till den räta vinkeln. Katet är benämningen på var och en av de två sidor vilka bildar den räta vinkeln.
Pythagoras sats kan skrivas:
$$a^2+b^2=c^2$$
Exempel: Pythagoras Sats
Beräkna hypotenusan i triangeln.
Triangeln är rätvinklig och då gäller Pythagoras sats, dvs
$c^2=a^2+b^2$
$c=\sqrt{a^2 + b^2}$
$c=\sqrt{3^2 + 4^2}$
$c=\sqrt{25}=5\:cm$
En triangel med sidolängderna 3, 4, 5 kallas egyptisk triangel.
Svar: Hypotenusan är 5 cm.
Liksidig triangel
I en liksidig triangel är alla sidor lika långa, dvs a = b = c, och alla tre vinklar är lika med 60°. Omvänt gäller också att om en triangel har tre lika stora vinklar så är triangeln liksidig.
Likbent triangel
I en likbent triangel är två sidor lika långa, dvs a = c. Två av vinklarna (de sk. basvinklarna) i en likbent triangel är lika stora, vinkeln x. Omvänt gäller också att om två vinklar i en triangel är lika så är motstående sidor till vinklarna också lika.
Exempel: Liksidig Triangel och Likbent Triangel
Triangeln ABC är liksidig och delar sidan BC med triangeln BCD. Beräkna sträckan x i triangeln BCD.
- Då triangeln ABC är liksidig så är alla sidor lika långa, dvs 5 cm.
- Triangeln BCD har två vinklar som är lika stora, 45°. Därmed vet vi att triangeln BCD är likbent, dvs BC = BD = 5 cm.
- Den räta linjen x delar CD i två lika stora delar, så att vi får två lika stora rätvinkliga trianglar med basen $\frac{6\: cm}{2}=3 \: cm$ och hypotenusan = BC = BD = 5 cm.
Vi vet att i en rätvinklig triangel gäller Pythagoras sats. Ställer vi upp Pythagoras sats för triangeln BCD får vi:
$(3\: cm)^2 + x^2 = (5 \:cm)^2$
$x^2=25 \: cm^2 - 9 \: cm^2$
$x=\sqrt{16 \: cm^2}=4 \: cm$
Svar: Sträckan x = 4 cm.
Yttervinkelsatsen
Yttervinkelsatsen säger att en triangels yttervinkel är lika med vinkelsumman av de två motstående inre vinklarna i triangeln, dvs:
$$\text{vinkel z}=\text{vinkel x + vinkel y}$$
Exempel: Yttervinkelsatsen
Bestäm vinklarna y och z.
Enligt yttervinkelsatsen:
z + 50° = 92°
z = 92° – 50° = 42°
Vinkel y och vinkel 92° är supplementvinklar:
y + 92° = 180°
y = 180° – 92° = 88°
Svar: z = 42°, y = 88°
Förhållandet mellan längden på triangelns sidor och storleken på triangelns vinklar
I alla trianglar gäller att:
- Triangelns största vinkel är motstående triangelns längsta sida
- Triangelns näst största vinkeln är motstående triangelns näst längsta sida
- Triangelns minsta vinkeln är motstående triangelns kortaste sida
Om sidorna i triangelns ovan förhåller sig så att
a > b > c så gäller att:
Vinkeln c > vinkeln a > vinkeln b
Exempel: Bestäm Triangelns Största Vinkel
Vilken vinkel är störst i traingeln ABC?
Sidan AC > sidan AB > sidan BC vilket ger att:
- Vinkeln y är störst
- Vinkeln z är näst störst
- Vinkeln x är minst
Svar: Vinkeln y är störst i triangeln.
Triangelolikheten
I alla trianglar gäller att:
- Längden av en viss sida är mindre än eller lika med summan av längderna av de övriga sidorna
- men större än eller lika med differensen mellan dessa sidor.
I triangeln ovan gäller att:
- $|b - c| \le a \le b + c$
- $|a - c| \le b \le a + c$
- $|a - b| \le c \le a + b$
Exempel: Bestäm maxlängd och minlängd av en triangelsida
Vad är längden x största respektive minsta möjliga värde?
Enligt triangelolikheten gäller att:
- (12 - 8) cm < x < (12 + 8) cm
- 4 cm < x < 20 cm
Svar: Största längden x i triangeln är 20 cm och minsta längden x är 4 cm.
