Trianglar på Högskoleprovet

Linjära ekvationer Olikheter Procent och promille Talföljder Räta linjens ekvation Enheter och prefix Omkrets, area och volym Medelvärde, median… Tabeller

Andragradsekvationer Bråk och decimaler Räkneregler Funktioner Fyrhörningar Trianglar Sannolikhet Kartor

Ekvationer i bråkformat Potensregler Rötter Potens-/exponentialfunktioner Cirkeln Likformighet Vinklar och parallella linjer Diagram

Lär dig allt du behöver kunna om trianglar inför högskoleprovet. Här går vi igenom area, vinkelsumma, Pythagoras sats, liksidiga och likbenta trianglar, sambandet mellan sidor och vinklar, yttervinkelsatsen och triangelolikheten.

Sammanfattning Trianglar på högskoleprovet

Triangel på högskoleprovet

Gemensamt för alla trianglar:

$Omkrets= a + b + c$
$Area= \frac{b \cdot h}{2}$
$Vinkelsumma = x + y + z = 180°$

Triangelns största vinkel ligger mittemot den längsta sidan. På motsvarande sätt ligger den minsta vinkeln mittemot den kortaste sidan.
I en liksidig triangel är alla sidorna lika långa och alla vinklarna $= 60^o.$
I en likbent triangel är två sidor lika långa. Vinklarna mittemot de lika långa sidorna, de så kallade basvinklarna, är lika stora. Omvänt gäller att om två vinklar i en triangel är lika stora, så är de motstående sidorna lika långa.
I en rätvinklig triangel gäller Pythagoras sats $c^2=a^2+b^2$, där $c$ är hypotenusan. Hypotenusan är triangelns längsta sida och ligger mittemot den räta vinkeln. Sidorna $a$ och $b$ är kateter.
Yttervinkelsatsen: En yttervinkel är lika med vinkelsumman av de två motstående inre vinklarna i triangeln.
Triangelolikheten: Längden av en viss sida är mindre än summan av längderna av de övriga sidorna, men större än differensen mellan dessa sidor.

Olika trianglar: Spetsvinklig, rätvinklig, trubbvinklig, likbent, liksidig och olikbent

Triangel på Högskoleprovet

Triangeln är en av de grundläggande geometriska formerna. De typer av trianglar som vanligen förekommer på högskoleprovet är:

Spetsvinklig: Alla vinklar är mindre än $90^o$.
Rätvinklig: En vinkel är rät (lika med $90^o$).
Trubbvinklig: Om en av vinklarna är större än $90^o.$
Likbent: Om två sidor är lika långa.
Liksidig: Om alla sidor är lika långa.
Olikbent (eller ojämn): Motsatsen till liksidig triangel. Om alla vinklar är olika och ingen av sidorna är lika lång.

Gemensamt för alla trianglar är omkrets, area och vinkelsumma:

$$Omkrets= a + b + c$$ $$Area= \frac{b \cdot h}{2}$$ $$Vinkelsumma = x + y + z = 180°$$

Exempel: Triangel

Vad är arean, omkretsen och vinklarna i triangeln $\boldsymbol{ABC?}$

Area, omkrets och vinklar av en triangel

Triangeln $ABC$ är trubbvinklig, eftersom en vinkel är större än $90^o,$ och även likbent, då två sidor är lika långa och de två basvinklarna $x$ är lika stora.

Svar:

Arean $= \frac{b \cdot h}{2}=\frac{5 \cdot 3}{2}=7,5$ areaenheter. Observera att höjden i en triangel alltid är vinkelrät mot basen.
Omkretsen $=$ sidan $AB +$ sidan $BC +$ sidan $CA = 5 + 10 + 5 = 20$ längdenheter.
Vinkelsumman i triangeln $= 2,5x + x + x = 180^o.$ $x = \frac{180}{4,5} = 40^o.$ Dvs två vinklar är $40^o$ och en vinkel är $2,5 \cdot 40^o = 100^o.$

Rätvinklig triangel och Pythagoras sats

En rätvinklig triangel och Pythagoras sats

En triangel med en rät vinkel ($90^o$) kallas rätvinklig triangel. I en rätvinklig triangel gäller Pythagoras sats: kvadraten på hypotenusan är lika med summan av kvadraterna på kateterna. Hypotenusan är sidan mittemot den räta vinkeln och triangelns längsta sida. De två sidor som bildar den räta vinkeln kallas kateter.

Pythagoras sats kan skrivas:

$$a^2+b^2=c^2$$

Exempel: Pythagoras Sats

Vad är hypotenusan i triangeln?

Pythagoras sats

Triangeln är rätvinklig och då gäller Pythagoras sats, dvs

$c^2=a^2+b^2$

$c=\sqrt{a^2 + b^2}$

$c=\sqrt{3^2 + 4^2}$

$c=\sqrt{25}=5\:cm$

En triangel med sidolängderna $3, 4, 5$ kallas är ett vanligt exempel på Pythagoras trippel

Svar: Hypotenusan är $5\, cm.$

Pythagoras trippel

På högskoleprovet förekommer ofta uppgifter med Pythagoras sats. Uppgifterna är ofta utformade så att de tre sidorna är heltal och kallas då Pythagoras trippel. Exempel på trianglar vars sidor uppfyller Pythagoras trippel är:

$(3, 4, 5)$
$(5, 12, 13)$
$(8, 15, 17)$
$(7, 24, 25)$

Alla multiplar av ovanstående exempel uppfyller också Pythagoras trippel, exempelvis:

$(6,8,10)$
$(9,12,15)$
$(12,16,20)$

Som alla är multiplar av $(3,4,5).$

Exempel: Pythagoras Sats 2

Olle bygger ett hus och vill kontrollera att det står rakt genom att mäta vinkel $x$. Vilket svarsalternativ motsvarar en vinkel $\boldsymbol{x\ne90^o?}$

$A=3\,dm$, $B=5\,dm$, $C=4\,dm$
$A=6\,dm$, $B=10\,dm$, $C=8\,dm$
$A=9\,dm$, $B=15\,dm$, $C=12\,dm$
$A=12\,dm$, $B=20\,dm$, $C=18\,dm$

Beräkna om en uppgift uppfyller Pythagoras sats

I en rätvinklig triangel gäller Pythagoras sats. Vi ser att svarsalternativen A, B och C är multiplar av $\text{3, 4, 5}$ och då är $x=90^o$. Däremot uppfyller inte D Pythagoras sats och då vet vi att $x$ inte är $90^o.$

Svar: Svarsalternativet D motsvarar en vinkel $x\ne90^o.$

Liksidig triangel

I en liksidig triangel är alla sidor lika långa, dvs $a = b = c,$ och alla tre vinklar är lika med $60^o.$ Omvänt gäller också att om en triangel har tre lika stora vinklar så är triangeln liksidig.

Likbent triangel

I en likbent triangel är två sidor lika långa, dvs $a = c.$ Två av vinklarna (de sk. basvinklarna) i en likbent triangel är lika stora, vinkeln $x.$ Omvänt gäller också att om två vinklar i en triangel är lika så är motstående sidor till vinklarna också lika.

Exempel: Liksidig Triangel och Likbent Triangel

Triangeln $ABC$ är liksidig och delar sidan $BC$ med triangeln $BCD.$ Vad är sträckan $\boldsymbol{x}$ i triangeln $\boldsymbol{BCD?}$

Delad sida av två trianglar

Då triangeln $ABC$ är liksidig så är alla sidor lika långa, dvs $5\, cm.$
Triangeln $BCD$ har två vinklar som är lika stora, $45^o.$ Därmed vet vi att triangeln $BCD$ är likbent, dvs $BC = BD = 5\, cm.$
Den räta linjen $x$ delar $CD$ i två lika stora delar, så att vi får två lika stora rätvinkliga trianglar med basen $\frac{6\: cm}{2}=3 \: cm$ och hypotenusan $= BC = BD = 5\, cm.$

Vi vet att i en rätvinklig triangel gäller Pythagoras sats. Ställer vi upp Pythagoras sats för triangeln $BCD$ får vi:

$(3\: cm)^2 + x^2 = (5 \:cm)^2$

$x^2=25 \: cm^2 - 9 \: cm^2$

$x=\sqrt{16 \: cm^2}=4 \: cm$

Svar: Sträckan $x = 4\, cm.$

Exempel: Triangel 2

Triangeln $ABC$ är rätvinklig. Punkten $M$ delar sträckan $BC$ på mitten. Vad är sträckan $\boldsymbol{AM?}$

Uppgift för Högskoleprovet med beräkning av triangel

Det här är en av de grundläggande satserna för en rätvinklig triangel: Medianen från den räta vinkeln till hypotenusan är lika lång som halva hypotenusan. Det vill säga $AM$ är halva hypotenusan $BC.$

$BC$ räknar vi ut med Pythagoras sats:

$BC^2=AB^2+AC^2$

$BC=\sqrt{6^2+8^2}\,cm=\sqrt{36+64}\,cm=$

$=\sqrt{100}\,cm=10\,cm$

Och följdaktligt är $AM=\frac{BC}{2}\,cm=\frac{10}{2}\,cm=5\,cm$

Svar: Sträckan $AM = 5\, cm.$

Sambandet mellan triangelns sidor och vinklar

I alla trianglar gäller att:

Triangelns största vinkel är motstående triangelns längsta sida
Triangelns näst största vinkeln är motstående triangelns näst längsta sida
Triangelns minsta vinkeln är motstående triangelns kortaste sida

Triangelns sidor och vinklar

Om sidorna i triangelns ovan förhåller sig så att:

$a > b > c$ så gäller att:

Vinkeln $c >$ vinkeln $a >$ vinkeln $b.$

Exempel: Bestäm Triangelns Största Vinkel

Vilken vinkel är störst i triangeln $\boldsymbol{ABC?}$

Beräkna vilken vinkel som är störst i triangel

Sidan $AC >$ sidan $AB >$ sidan $BC$ vilket ger att:

Vinkeln $y$ är störst
Vinkeln $z$ är näst störst
Vinkeln $x$ är minst

Svar: Vinkeln $y$ är störst i triangeln.

Yttervinkelsatsen

Yttervinkelsatsen på Högskoleprovet

Yttervinkelsatsen säger att en triangels yttervinkel är lika med vinkelsumman av de två motstående inre vinklarna i triangeln, dvs: $$\text{vinkel z}=\text{vinkel x + vinkel y}$$

Exempel: Yttervinkelsatsen

Vad är vinklarna $\boldsymbol{y}$ och $\boldsymbol{z?}$

Exempel med yttervinkelsatsen

Enligt yttervinkelsatsen:

$z + 50^o = 92^o$

$z = 92^o – 50^o = 42^o$

Vinkel $y$ och vinkel $92^o$ är supplementvinklar:

$y + 92^o = 180^o$

$y = 180^o – 92^o = 88^o$

Svar: $z = 42^o, y = 88^o$

Triangelolikheten

I alla trianglar gäller att:

Längden av en viss sida är mindre än summan av längderna av de övriga sidorna
men större än differensen mellan dessa sidor.

Triangelolikheten

I triangeln ovan gäller att:

$|b - c| < a < b + c$
$|a - c| < b < a + c$
$|a - b| < c < a + b$

Exempel: Bestäm maxlängd och minlängd av en triangelsida

Mellan vilka värden kan längden $\boldsymbol{x}$ ligga?

Exempeluppgift triangelolikheten

Enligt triangelolikheten gäller att:

$(12 - 8) \, cm < x < (12 + 8)\, cm$
$4\, cm < x < 20\, cm$

Svar: Längden $x$ måste uppfylla $4\,cm < x < 20\,cm.$