Trianglar på Högskoleprovet

Sammanfattning Trianglar på högskoleprovet

triangel

Gemensamt för alla trianglar:

$Omkrets= a + b + c$
$Area= \frac{b \cdot h}{2}$
$Vinkelsumma = x + y + z = 180°$

Triangelns största vinkel är motstående triangelns längsta sida, osv. Ex. I triangeln ovan om c > b > a så gäller att x > z > y.
I en liksidig triangel är alla sidorna lika långa och alla vinklarna = 60°
I en likbent triangel är två sidor lika långa och basvinklarna lika stora.
I en rätvinklig triangel gäller pythagoras sats $c^2=a^2+b^2$. Sidan c är hypotenusan som är den längsta sidan. a och b är kateter.
Yttervinkelsatsen: En yttervinkel är lika med vinkelsumman av de två motstående inre vinklarna i triangeln.
Triangelolikheten: Längden av en viss sida är mindre än summan av längderna av de övriga sidorna, men större än differensen mellan dessa sidor.

Allmänt om Trianglar

triangel

Triangeln är en av de grundläggande geometriska formerna. De typer av trianglar som vanligen förekommer i högskoleprovet är:

Spetsvinklig: Alla vinklar är mindre än 90°.
Rätvinklig: En vinkel är rät (lika med 90°).
Trubbvinklig: Om en av vinklarna är större än 90°.
Likbent: Om två sidor är lika långa.
Liksidig: Om alla sidor är lika långa.
Skalen (eller ojämn): Motsatsen till liksidig triangel. Om alla vinklar är olika och ingen av sidorna är lika lång.

Gemensamt för alla trianglar är omkrets, area och vinkelsumma: $$Omkrets= a + b + c$$ $$Area= \frac{b \cdot h}{2}$$ $$Vinkelsumma = x + y + z = 180°$$

Exempel: Triangel

Beräkna arean, omkretsen och vinklarna i triangeln ABC.

triangel2

Triangeln ABC är trubbvinklig, eftersom en vinkel är större än 90°, och även likbent, då två sidor är lika långa och de två basvinklarna x är lika stora.

Svar:

Arean = $\frac{b \cdot h}{2}=\frac{5 \cdot 3}{2}=7,5$ areaenheter
Observera att höjden i en triangel alltid är vinkelrät mot basen.
Omkretsen = sidan AB + sidan BC + sidan CA = 5 + 10 + 5 = 20 längdenheter
Vinkelsumman i triangeln = 2,5x + x + x = 180°
x = $\frac{180}{4,5}$ = 40°
Dvs två vinklar är 40° och en vinkel är 2,5 · 40° = 100°

Rätvinklig triangel och Pythagoras sats

rätvinklig triangel

Trianglar med en rät sida kallas rätvinklig triangel. Enligt Pythagoras sats så gäller att för en rätvinklig triangels sidor är Kvadraten på hypotenusan lika med summan av kvadraterna på kateterna. Hypotenusan är den längsta sidan i en rätvinklig triangel och är motstående sida till den räta vinkeln. Katet är benämningen på var och en av de två sidor vilka bildar den räta vinkeln.

Pythagoras sats kan skrivas: $$a^2+b^2=c^2$$

Exempel: Pythagoras Sats

Beräkna hypotenusan i triangeln.

Triangeln är rätvinklig och då gäller Pythagoras sats, dvs
$c^2=a^2+b^2$
$c=\sqrt{a^2 + b^2}$
$c=\sqrt{3^2 + 4^2}$
$c=\sqrt{25}=5\:cm$
En triangel med sidolängderna 3, 4, 5 kallas egyptisk triangel.

Svar: Hypotenusan är 5 cm.

Liksidig triangel

liksidig triangel

I en liksidig triangel är alla sidor lika långa, dvs a = b = c, och alla tre vinklar är lika med 60°. Omvänt gäller också att om en triangel har tre lika stora vinklar så är triangeln liksidig.

Likbent triangel

likbent triangel

I en likbent triangel är två sidor lika långa, dvs a = c. Två av vinklarna (de sk. basvinklarna) i en likbent triangel är lika stora, vinkeln x. Omvänt gäller också att om två vinklar i en triangel är lika så är motstående sidor till vinklarna också lika.

Exempel: Liksidig Triangel och Likbent Triangel

Triangeln ABC är liksidig och delar sidan BC med triangeln BCD. Beräkna sträckan x i triangeln BCD.

triangel3

Då triangeln ABC är liksidig så är alla sidor lika långa, dvs 5 cm.
Triangeln BCD har två vinklar som är lika stora, 45°. Därmed vet vi att triangeln BCD är likbent, dvs BC = BD = 5 cm.
Den räta linjen x delar CD i två lika stora delar, så att vi får två lika stora rätvinkliga trianglar med basen $\frac{6\: cm}{2}=3 \: cm$ och hypotenusan = BC = BD = 5 cm.

Vi vet att i en rätvinklig triangel gäller Pythagoras sats. Ställer vi upp Pythagoras sats för triangeln BCD får vi:
$(3\: cm)^2 + x^2 = (5 \:cm)^2$
$x^2=25 \: cm^2 - 9 \: cm^2$
$x=\sqrt{16 \: cm^2}=4 \: cm$

Svar: Sträckan x = 4 cm.

Exempel: Triangel 2

Triangeln ABC är rätvinklig. Punkten M delar sträckan BC på mitten. Vad är sträckan AM?

triangel6

Vi börjar med att beräkna sträckan BC med Pythagoras sats:

$BC = \sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$ cm.

Arean ABC kan vi uttrycka på två sätt:

Arean ABC = $\frac{AB \cdot AC}{2}$
Arean ABC = $\frac{BC \cdot AM}{2}$

Ekvation 1 = ekvation 2 ger:

$\frac{AB \cdot AC}{2}=\frac{BC \cdot AM}{2}$

$AM = \frac{AB \cdot AC}{BC}=\frac{6\cdot 8}{10}=4,8$ cm.

Svar: Sträckan AM = 4,8 cm.

Förhållandet mellan längden på triangelns sidor och storleken på triangelns vinklar

I alla trianglar gäller att:

Triangelns största vinkel är motstående triangelns längsta sida
Triangelns näst största vinkeln är motstående triangelns näst längsta sida
Triangelns minsta vinkeln är motstående triangelns kortaste sida

triangelns sidor och vinklar

Om sidorna i triangelns ovan förhåller sig så att
a > b > c så gäller att:
Vinkeln c > vinkeln a > vinkeln b

Exempel: Bestäm Triangelns Största Vinkel

Vilken vinkel är störst i triangeln ABC?

triangel4

Sidan AC > sidan AB > sidan BC vilket ger att:

Vinkeln y är störst
Vinkeln z är näst störst
Vinkeln x är minst

Svar: Vinkeln y är störst i triangeln.

Yttervinkelsatsen

yttervinkelsatsen

Yttervinkelsatsen säger att en triangels yttervinkel är lika med vinkelsumman av de två motstående inre vinklarna i triangeln, dvs: $$\text{vinkel z}=\text{vinkel x + vinkel y}$$

Exempel: Yttervinkelsatsen

Bestäm vinklarna y och z.

triangel3

Enligt yttervinkelsatsen:
z + 50° = 92°
z = 92° – 50° = 42°
Vinkel y och vinkel 92° är supplementvinklar:
y + 92° = 180°
y = 180° – 92° = 88°

Svar: z = 42°, y = 88°

Triangelolikheten

I alla trianglar gäller att:

Längden av en viss sida är mindre än summan av längderna av de övriga sidorna
men större än differensen mellan dessa sidor.

triangelns sidor och vinklar

I triangeln ovan gäller att:

$|b - c| < a < b + c$
$|a - c| < b < a + c$
$|a - b| < c < a + b$

Exempel: Bestäm maxlängd och minlängd av en triangelsida

Vad är längden x största respektive minsta möjliga värde?

triangel5

Enligt triangelolikheten gäller att:

(12 - 8) cm < x < (12 + 8) cm
4 cm < x < 20 cm

Svar: Största längden x i triangeln är 20 cm och minsta längden x är 4 cm.