Hem Interaktiva Övningsprov Lösningar Gamla Högskoleprov Matematiken på Högskoleprovet Om Högskoleprovet Frågor och Svar - FAQ
Allarätt.nu Högskoleprovet Logotype
HÖGSKOLEPROVET

Allarätt.nu Högskoleprovet LogotypeHÖGSKOLEPROVET

Högskoleprovet - Gör Våra Övningsprov och Öka Dina Chanser att Komma in på Drömutbildningen!

 

STARTA Övningsprov    navigate_next
function_icon

Potens- och exponentialfunktioner

Sammanfattning

Potensfunktioner

Den allmänna potensfunktionen kan skrivas som: $$f(x)=C\cdot ax^{n}$$ där C och n är konstanter, och x är den oberoende variabeln som återfinns i potensens bas. Om n = 0 eller n = 1, så är funktionen en linjär funktion och får då en linjär graf. Detta eftersom x0 = 1 och x1 = x.

Nollställen, Extrempunkt (Minimipunkt och Maximipunkt), Vertex och Symmetrilinje

Om vi ritar funktionen f(x) = $x^{2}+8x+7=0$ i en graf får vi följande:

Graf till funktion med minimipunkt

En potensfunktion vars graf ser ut så här kallas för en parabel. I vårt fall har vi markerat våra två rötter x1 = -1, x2 = -7. Dessa kallas nollställen. Vårt a-värde från pq-formeln är större än 0 och då vet vi att kurvan är konkav och har en "glad mun". Om a-värdet är negativt får vi en konvex kurva och en "ledsen mun".

Konkava kurvor har en minimipunkt och konvexa kurvor har en maximipunkt. Samlingsnamnet för en kurvas minimipunkt eller maximipunkt är extrempunkt. För att beräkna extrempunkten för en funktion med två rötter beräknar vi funktionens symmetrilinje, vilket är lika med medelvärdet av kurvans rötter. I vårt fall är kurvans symmetrilinje
$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-7 + -1}{2}=-4$

Sätter vi in x = -4 i vår funktion får vi:
$f(-4)={-4}^2+8\cdot-4+7= -9$.
Vår funktions minsta värde är -9. Punkten (-4, -9) är koordinaterna för funktions minimipunkt och kallas för vertex.

Exempel: Nollställen och Maximipunkt

f(x) = -x2 + 2x + 3. Bestäm funktionens nollställen, största värde och vertex.

Vi börjar med att bestämma nollställena genom pq-formeln:
$p=\frac ba=\frac {2}{-1}=-2$ och $q=\frac ca=\frac {3}{-1}=-3$
insatt i pq-formeln ger detta:
$x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q}=$
=$-\frac{-2}{2}\pm\sqrt{\left (\frac{-2}{2} \right )^{2}+3}=1\pm\sqrt4=1\pm2$
x1= 3, x2 = -1

Symmetrilinjen ges av medelvärdet av nollställena, dvs $x=\frac{3 + -1}{2}=1$
För att bestämma funktionens största värde beräknar vi f(1) = -1 + 2 + 3 = 4.

Svar: Funktionens nollställen är x1= 3, x2 = -1
Funktionens största värde är 4 och vertex är (1, 4).

Graf till funktion med maximipunkt

Exponentialfunktioner

Den allmänna exponentialfunktionen kan beskrivas av funktionen: $$f(x)=C\cdot a^{x}$$ där C och n är konstanter, och x är den oberoende variabeln som återfinns i potensens exponent. Om konstanten a är större än 1 är funktionen exponentiellt växande, och om a är mindre än 1 är funktionen exponentiellt avtagande.

Exempel: Potensfunktioner

Följande exempel är hämtat från Högskoleprovet våren 2012 och visar karaktären på exponentialkurvor beroende på värdena C och a.

y = -100 · 0,7x
C < 0 ger en kurva nedanför x-axeln.
a < 1 ger en exponentiellt avtagande kurva.

exponentialfunktion-exempel1

y = -100 · 1,4x
C < 0 ger en kurva nedanför x-axeln.
a > 1 ger en exponentiellt växande kurva.

exponentialfunktion-exempel2

y = 100 · 0,7x
C > 0 ger en kurva ovanför x-axeln.
a < 1 ger en exponentiellt avtagande kurva.

exponentialfunktion-exempel3

y = 100 · 1,4x
C > 0 ger en kurva ovanför x-axeln.
a > 1 ger en exponentiellt växande kurva.

exponentialfunktion-exempel4

Det vi ser i våra fyra grafer är: