Interaktiva Övningsprov Lösningar Gamla Högskoleprov Matematiken på Högskoleprovet Ordlista/Dictionary Tips och Strategier Om Högskoleprovet Frågor och Svar - FAQ
Förbered dig till Högskoleprovet på AllaRätt.nu och nå Drömutbildningen!
function_icon

Potens- och exponentialfunktioner på Högskoleprovet

Sammanfattning Potens- och exponentialfunktioner på Högskoleprovet

Potensfunktioner

Den allmänna potensfunktionen kan skrivas som: f(x)=axn där a och n är konstanter, och x är den oberoende variabeln som återfinns i potensens bas. Om n=0 eller n=1, så är funktionen en linjär funktion och får då en linjär graf. Detta eftersom x0=1 och x1=x.

Nollställen, Extrempunkt (Minimipunkt och Maximipunkt), Vertex och Symmetrilinje

Om vi ritar funktionen f(x)=x2+8x+7=0 i en graf får vi följande:

Graf till funktion med minimipunkt

En potensfunktion vars graf ser ut så här kallas för en parabel. I vårt fall har vi markerat våra två rötter , . Dessa kallas nollställen. Vårt a-värde från pq-formeln är större än 0 och då vet vi att kurvan är konkav och har en "glad mun". Om a-värdet är negativt får vi en konvex kurva och en "ledsen mun".

Konkava kurvor har en minimipunkt eller även kallat maxställe och konvexa kurvor har en maximipunkt eller maxställe. Samlingsnamnet för en kurvas minimipunkt eller maximipunkt är extrempunkt. För att beräkna extrempunkten för en funktion med två rötter beräknar vi funktionens symmetrilinje, vilket är lika med medelvärdet av kurvans rötter. I vårt fall är kurvans symmetrilinje

Sätter vi in i vår funktion får vi:
.

Vår funktions minsta värde är . Punkten är koordinaterna för funktions minimipunkt och kallas för vertex.

Exempel: Nollställen och Maximipunkt

. Bestäm funktionens nollställen, största värde och vertex.

Vi börjar med att bestämma nollställena genom pq-formeln:

och
insatt i pq-formeln ger detta:

=

,

Symmetrilinjen ges av medelvärdet av nollställena, dvs
För att bestämma funktionens största värde beräknar vi .

Funktionens största värde är och vertex är .

Graf till funktion med maximipunkt

Svar: Funktionens nollställen är , . Största värde är och vertex är punkten .


Exempel: Nollställen och Maximipunkt 2

En fotbollsmålvakt kastar ut bollen. Kastet är en parabel och kan beskrivas med funktionen där är bollens höjd och är längden på kastet. Vad är bollens högsta höjd?

Vi börjar med att bestämma nollställena. Då vi inte har en konstant i vår funktion kan vi enkelt faktorisera:

Den ena roten får vi om vi sätter det som står utanför parentesten lika med noll, dvs och den andra roten om vi sätter det innanför parentesten lika med noll, dvs vilket ger

Vi vet att funktionen är konvex (termen är negativ) och därmed har vi en maximipunkt. Vi vet också att funktionen är symmetrisk kring maximipunkten och med våra två rötter beräknar vi symmetrilinjen Högsta höjden nås alltså efter kastlängden och vi bestämmer höjden:

Kastparabeln

Svar: Högsta höjden på bollen är

Exponentialfunktioner

Den allmänna exponentialfunktionen kan beskrivas av funktionen: där och är konstanter, och x är den oberoende variabeln som återfinns i potensens exponent.

Exempel: Potensfunktioner

Följande exempel är hämtat från Högskoleprovet våren 2012 och visar karaktären på exponentialkurvor beroende på värdena C och a.

A.

exponentialfunktion-exempel1

B.

exponentialfunktion-exempel2

C.

exponentialfunktion-exempel3

D.

exponentialfunktion-exempel4

Det vi ser i våra fyra grafer är:
  1. Om (Graf 3 och 4) får vi en kurva ovanför x-axeln.
  2. Om (Graf 1 och 2) får vi en kurva nedanför x-axeln.
  3. Om (Graf 2 och 4) får vi en exponentiellt växande kurva.
  4. Om (Graf 1 och 3) får vi en exponentiellt avtagande kurva.
Utvecklas av AllaRätt.nu
info@allaratt.nu

Denna webbplats använder cookies för att förbättra webbupplevelsen och möjliggöra ytterligare funktionalitet. Klicka här för vår Cookie Policy

Tillåt Cookies