© AllaRätt.nu
© AllaRätt.nu
HÖGSKOLEPROVET
Potens- och exponentialfunktioner beskriver hur storheter förändras och förekommer i den kvantitativa delen av högskoleprovet. Här lär du dig tolka grafer, hitta nollställen och extrempunkter samt känna igen exponentiell tillväxt och minskning.
Den allmänna potensfunktionen kan skrivas som: $$f(x)=ax^{n}$$ där $a$ och $n$ är konstanter och $x$ är den oberoende variabeln som återfinns i potensens bas. Om $n=0$ är funktionen konstant eftersom $x^0=1$. Om $n=1$ får vi $f(x)=ax$, vars graf är en rät linje genom origo.
En viktig typ av funktion är andragradsfunktionen:
$$f(x)=ax^2+bx+c$$Om vi ritar funktionen $f(x) = x^{2}+8x+7$ i en graf får vi följande:
Grafen till en andragradsfunktion är en parabel. I vårt fall har vi markerat våra två rötter $x_1 = -1$, $x_2 = -7$. Dessa kallas nollställen.
Koefficienten framför $x^2$ är positiv. Därför öppnar parabeln uppåt och har en minimipunkt.
Omvänt gäller att om koefficienten framför $x^2$ är negativ öppnar parabeln nedåt och har en maximipunkt.
Samlingsnamnet för en kurvas minimipunkt eller maximipunkt kallas extrempunkt. För att beräkna extrempunkten för en funktion med två rötter beräknar vi funktionens symmetrilinje, vilket är lika med medelvärdet av kurvans rötter. I vårt fall är kurvans symmetrilinje
$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-7 + -1}{2}=-4$
Sätter vi in $x = -4$ i vår funktion får vi:
$f(-4)={-4}^2+8\cdot-4+7= -9$.
Vår funktions minsta värde är $-9$. Punkten $(−4,−9)$ är funktionens minimipunkt, även kallad parabelns vertex.
$f(x) = -x^2 + 2x + 3$. Bestäm funktionens nollställen, största värde och vertex.
Vi börjar med att bestämma nollställena genom pq-formeln:
$p=\frac ba=\frac {2}{-1}=-2$ och $q=\frac ca=\frac {3}{-1}=-3$
insatt i pq-formeln ger detta:
$x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q}=$
=$-\frac{-2}{2}\pm\sqrt{\left (\frac{-2}{2} \right )^{2}+3}=1\pm\sqrt4=1\pm2$
$x_1= 3$, $x_2 = -1$
Symmetrilinjen ges av medelvärdet av nollställena, dvs $x=\frac{3 + -1}{2}=1$
För att bestämma funktionens största värde beräknar vi $f(1) = -1 + 2 + 3 = 4$.
Funktionens största värde är $4$ och vertex är $(1, 4)$.
Svar: Funktionens nollställen är $x_1= 3$, $x_2 = -1$. Största värde är $y = 4$ och vertex är punkten $(1, 4)$.
En fotbollsmålvakt kastar ut bollen. Kastet är en parabel och kan beskrivas med funktionen $y(x)=-\frac{x^2}{4}+5x$ där $y$ är bollens höjd och $x$ är längden på kastet. Vad är bollens högsta höjd?
Vi börjar med att bestämma nollställena. Då vi inte har en konstant i vår funktion kan vi enkelt faktorisera:
$y(x)=-\frac{x^2}{4}+5x=x(-\frac{x}{4}+5)$
Den ena roten får vi om vi sätter det som står utanför parentesten lika med noll, dvs $x_1=0$ och den andra roten om vi sätter det innanför parentesten lika med noll, dvs $-\frac{x}{4}+5=0$ vilket ger $x_2=20.$
Eftersom koefficienten framför $x^2$ är negativ öppnar parabeln nedåt och har därför en maximipunkt. Vi vet också att parabeln är symmetrisk kring maximipunkten. Med de två nollställena beräknar vi symmetrilinjen:
$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{0+20}{2}=10$.
Bollen når alltså sin högsta höjd när den befinner sig $10\,m$ horisontellt från målvakten. Vi beräknar höjden:
$f(10)=-\frac{10^2}{4}+5\cdot 10=25\,m$
Svar: Högsta höjden på bollen är $25\,m.$
Den allmänna exponentialfunktionen kan skrivas:
$$f(x)=C\cdot a^x$$där $C$ och $a$ är konstanter, $a \gt 0$, och $x$ är den oberoende variabeln som finns i exponenten.
Följande exempel är hämtat från Högskoleprovet våren 2012 och visar karaktären på exponentialkurvor beroende på värdena C och a.
En bakteriekultur fördubblas varje timme. Från början finns 100 bakterier.
Vi har en startpopulation med $C=100$ bakterier som fördubblas varje timma, dvs tillväxtfaktorn $a=2.$
Antalet bakterier efter 1, 2, 3 timmar:
Varje timma har vi alltså en fördubbling av antalet bakterier och vi kan skriva detta som $C\cdot2^t$ där $C=100$ är antalet bakterier från början och tillväxtfaktorn $a=2$ och $t$ är antalet timmar som gått sedan vi började mäta.
Ett radioaktivt ämne halveras varje dag. Från början finns 80 gram.
Vi har en startmassa med $C=80$ gram som halveras varje dag och då vet vi att halveringsfaktorn är $a=0,5$:
Massan efter 1, 2, 3 dagar:
Varje dag har vi alltså en halvering av massan och vi kan skriva detta som $C\cdot 0,5^t$ där $C=80\,g$ är massan från början och halveringsfaktorn $a=0,5$ och $t$ är antalet dagar som gått sedan vi började mäta.
En bakteriekultur växer enligt formeln $N(t)=C \cdot a^t$ där $N(t)$ är antalet bakterier efter $t$ timmar, $C$ är startantalet bakterier och $a$ är tillväxtfaktorn. Efter tre timmar finns det $200$ bakterier, och tillväxtfaktorn är $a=2.$
Vi sätter in värdena som vi får givna i uppgiften: $N(t)=C \cdot 2^3.$
$200=C\cdot 8 \Rightarrow C=\frac{200}{8}=\frac{200/8}{8/8}=25.$
Svar: $C=25.$