Interaktiva Övningsprov Lösningar Gamla Högskoleprov Matematiken på Högskoleprovet Tips och Strategier Om Högskoleprovet Frågor och Svar - FAQ
Förbered dig till Högskoleprovet på AllaRätt.nu och nå Drömutbildningen!
algebra_icon

Olikheter på Högskoleprovet

Sammanfattning Olikheter på Högskoleprovet

Olikheter och olikhetstecken

Uttryck där båda leden inte är lika stora kallas för olikheter. De tecken som används för olikheter är:

Exempel: Olikheter

$2x + 5 \lt 3$. Bestäm x.

Det här uttrycket läser vi som att två x + fem är mindre än tre.
Uttrycket löser vi på samma sätt som om olikhetsteckenet hade varit ett likamedtecken. Vi börjar med att samla våra obekanta, dvs 2x, i vänsterledet och konstanter, dvs 5 och 3, i högerledet:
$2x \lt 3 - 5$
$2x \lt -2$
Därefter dividerar vi båda leden med två för att få x ensamt i högerledet:
$x \lt \frac{-2}{2}$
$x \lt -1$.

Svar: $x \lt -1$.

Tallinje olikheter

Vi ritar olikheten på tallinjen enligt ovan.

Olikhetstecken ska vändas om multiplikation eller division med negativa tal

Det finns en viktig regel som skiljer ekvationslösning med olikheter från ekvationslöning där inte olikheter förekommer, dvs där vi har likhetstecken i ekvationen: Olikhetstecken ska vändas om multiplikation eller division med negativa tal.

Exempel: Olikheter och multiplikation eller division med negativa tal

Vilket svarsförslag ger alla lösningar till olikheten
$3 – 2x \lt 1$?

För att få x positivt multiplicerar vi bägge sidor med -1. Som vi förklarat gäller att olikhetstecknet ska vändas om multiplikation eller division med negativt tal, dvs.
$-1(3 - 2x) \gt -1 \cdot 1$
Detta ger $-3 + 2x \gt -1$ och $2x \gt 2$ och slutligen $x \gt 1$.

Svar: $x \gt 1$.

Tallinje olikheter 2

Olikheter på tallinjen

Ett bra sätt att lösa olikheter är att rita en tallinje. Det är speciellt användbart för uppgifter med flera obekanta. Då vi ritar olikheten på tallinjen markerar vi att olikheten är öppen med en ring. Det betyder att x inte kan anta värdet (exempelvis x $\lt$ 1). En sluten olikhet och markeras med en ifylld ring (exempelvis x $\le$ 1).

Exempel: Lös Olikheter med tallinjen

$x + 5 \gt 7$ och $y – 3 \le -2$
Bestäm om x är större än y, lika med y eller mindre än y

Vi kallar våra giva olikheter 1 respektive 2:

  1. $x + 5 \gt 7$
  2. $y – 3 \lt -2$
  1. $x + 5 \gt 7$
    $x \gt 7 - 5$
    $x \gt 2$
  2. y – 3 < -2
    $y\le -2 + 3$
    $y \le 1$

Vi ritar våra två olikheter på tallinjen. Vi markerar 1 med en ifylld ring, då y är mindre än eller lika med ett. Samtidigt markerar vi 2 med en icke-ifylld ring då x är större än 2, men inte lika med 2.

Tallinje olikheter 3

På tallinjen ser vi att för alla tillåta värden kommer x att vara större än y.

Svar: x är större än y

Sammansatta olikheter

En olikhet på formen $–12 \le 2x + 6 \le 8$ kallar vi sammansatt olikhet. Det är ett uttryck som består av två olikheter och kan lösas genom att dela upp uttrycket i två olikheter och lösa dessa var och en för sig.

Exempel: Sammansatta Olikheter

Lös x för olikheten $–12 \le 2x + 6 \le 8$

Vi delar upp olikheten i två:

  1. $–12 \le 2x + 6$
  2. $2x + 6 \le 8$

Olikhet 1: $–12 \le 2x + 6$
$-12 - 6 \le 2x$
$-18 \le 2x$
$\frac{-18}{2} \le \frac{2x}{2}$
$-9 \le x$

Olikhet 2: $2x + 6 \le 8$
$2x \le 8 - 6$
$2x \le 2$
$\frac{2x}{2} \le \frac{2}{2}$
$x \le 1$

Vi kan nu åter sätta ihop vår olikhet och får:
$-9 \le x \le 1$

Svar: $-9 \le x \le 1$

Tallinje olikheter 4