© AllaRätt.nu
© AllaRätt.nu
HÖGSKOLEPROVET
Räkneregler är grunden för många av matematikuppgifterna på högskoleprovet. Här går vi igenom prioriteringsregler, udda och jämna tal, absolutbelopp, faktorisering, huvudräkning, avrundning, värdesiffror och talbaser med förklaringar och exempel.
Vad är $\boldsymbol{15 + 5^2 - 3 \cdot 2 + (7 + 3) - \frac{6}{3}?}$
Vi följer prioriteringsreglerna:
Ett heltal är antingen jämnt, exempelvis $-2, 0, 2$ eller udda, exempelvis $-1, 1, 3.$ Ett tal är jämnt om det är delbart med $2$ och udda om det inte är delbart med $2.$ Även negativa heltal är endera jämna, exempelvis $-2, -4, -6,$ eller udda, exempelvis $-1, -3, -5.$ Noll $(0)$ är jämn.
Decimaltal kan inte vara udda eller jämna eftersom regler för udda och jämna tal enbart gäller för heltal.
Ett jämnt tal kan också uttryckas $2 \cdot k$, där $k$ är ett heltal.
På samma sätt kan man uttrycka ett udda tal som $2 \cdot k + 1$, där $k$ är ett heltal.
$x$ är ett heltal. Är $\boldsymbol{(2x + 1)^2}$ udda eller jämnt?
Enligt vår definition av udda och jämna tal vet vi att $(2x + 1)$ är udda då $x$ är ett heltal. $(2x + 1)^2 = (2x + 1) \cdot (2x + 1).$ Vi har alltså ett udda tal multiplicerat med ett udda tal och då vet vi att produkten är udda.
Svar: $(2x + 1)^2$ är udda.
På tallinjen i figuren kallas de tal som ligger lika långt ifrån talet $0$ (noll, origo) motsatta tal. Motsatta tal på vår tallinje är:
Avståndet från ett tal till $0$ på tallinjen kallas absolutbeloppet. Absolutbeloppet av $-3$ är $3$ och skrivs $|-3|=3$.
Heltal som följer varandra från minsta till största kallas på varandra följande heltal. Exempelvis $1, 2, 3, 4, 5, 6,$ o.s.v.
På varandra följande udda tal är exempelvis $1, 3, 5, 7,$ o.s.v. och på varandra följande jämna tal är $0, 2, 4, 6,$ o.s.v.
På varandra följande heltal förekommer ofta i uppgifter på Högskoleprovet, exempelvis:
Summan av tre på varandra följande udda heltal är $63.$ Vilka är talen?
Vi kallar vårt minsta tal $x$ det andra talet $x+2$ och det tredje talet $x+4.$ Enligt texten är $x + (x+2) + (x + 4) = 63$.
$3x + 6 = 63$
$3x = 63 - 6 = 57$
$x = \frac{57}{3}=19$ och talen är:
Du får inte använda miniräknare på högskoleprovet, så det är viktigt att kunna avrundning, huvudräkning och överslagsräkning.
Avrundning, huvudräkning och överslagsräkning hjälper oss att beräkna uppgifter och är speciellt viktigt då det är större tal som ska adderas, subtraheras, multipliceras eller divideras. Det finns flera bra strategier för att göra överslagsberäkningar och uppskattningar, till exempel avrundning, faktorisering, komplementräkning, uppdelning och kvadratestimering.
Lär dig att avrunda:
Studera svarsalternativen för att avgöra hur noggrann du behöver vara. Om det är stor skillnad mellan svarsalternativen behöver du inte vara lika exakt i din överslagsräkning som om skillnaden är liten.
Vad är $\boldsymbol{487 + 233}$ avrundat till närmaste hundratal?
$487 + 233 \approx 500 + 200 = 700$
Svar: $700$Vad är:
Den distributiva lagen kan användas för att dela upp beräkningar och förenkla huvudräkning. Exempelvis kan $85 \cdot 103$ skrivas:
$85 \cdot 103 = 85(100 + 3) = 85 \cdot 100 + 85 \cdot 3 = 8\,500 + 255 = 8\,755.$
Faktorisering innebär i stället att skriva ett uttryck som en produkt av faktorer. Exempelvis:
$4x^2 - 8x + 6x^3 = 2x(2x - 4 + 3x^2).$
Vad är $\boldsymbol{567 + 432?}$
$567 + 432 = 567 + (400 + 30 + 2) =$
$= 967 + 30 + 2 = 997 + 2 = 999.$
Svar: $999$Vad är $\boldsymbol{1567 - 863?}$
$1567 - 863 =$
$= (1000 + 500 + 60 + 7) - (800 + 60 + 3) =$
$= (1000 + 500 - 800) +$
$+ (60 - 60) + (7 - 3) =$
$= 700 + 4 = 704$
Svar: $704$Vad är $\boldsymbol{19 \cdot 24?}$
$19 \cdot 24 = 19 (20 + 4) = 19 (10 + 10 + 4) =$
$=190 + 190 + 76 = 456$
Svar: $19 \cdot 24 = 456$Använd komplementräkning. Komplementet är differensen mellan ett större tal och originaltalet, exempelvis $67:33: (67 + 33 = 100)$, $42:58, 37:63,$ osv.
Vad är $\boldsymbol{721 - 387?}$
Komplementet av $87$ är $13,$ så vi ersätter $387$ med $(400 - 13):$
$721 - 387 = 721 - (400 - 13) =$
$= 721 - 400 + 13 = 321 + 13 = 334$
Svar: $334$beräkna kvadraten av ett tal. En kvadrat av ett tal kan skrivas $x^2 = (x + d)(x - d) + d^2$ där $x$ är talet och $d$ är differensen.
Vad är $\boldsymbol{57^2?}$
$57^2 = (57 + 3)(57 - 3) + 3^2 = 60 \cdot 54 + 9 =$
$=60(50 + 4) + 9 = 3000 + 240 + 9 = 3249$
Svar: $3249$Förenkla talet så mycket som möjligt.
Vad är $\boldsymbol{\frac{1735}{5}?}$
$\frac{1735}{5} = \frac{2 \cdot 1735}{2 \cdot 5} = \frac{3500}{10} = 350$
Svar: $350$Prova delbarhet. I kapitlet Bråk och decimaler går vi igenom sätt att snabbt kunna besvara om ett tal är jämnt delbart med ett annat tal.
Är talet $\boldsymbol{3123}$ delbart med $\boldsymbol{3?}$
Talet $3123$ är delbart med $3$ eftersom $3 + 1 + 2 + 3 = 9$ vilket är delbart med $3.$
Svar: Ja, talet $3123$ är jämnt delbart med $3.$Ett bra tips för procent och bråk: Procent och bråk är i själva verket multiplikationer och då spelar ordningen av faktorer ingen roll.
Vad är $\boldsymbol{36\text{%}}$ av $\boldsymbol{25?}$
$36\text{%}$ av $25 = 25\text{%}$ av $36 = \frac14\cdot 36 = 9$
Svar: $9$Vad är $\boldsymbol{16\text{%}}$ av $\boldsymbol{75?}$
$16\text{%}$ av $75 = 75\text{%}$ av $16 = \frac34\cdot 16 = 12$
Svar: $12$Utnyttja de rötter du kan för att lösa uppgifter med rötter du inte kan.
Vad är ett närmevärde till $\boldsymbol{\sqrt{13}?}$
$\sqrt{13}$ är större än $\sqrt{9} = 3$ och mindre än $\sqrt{16} = 4.$ $13$ ligger ganska nära mitten av $9$ och $16,$ men något närmare $16.$ Vi provar $3,6$ och beräknar $3,6^2 = 12,96.$ Dvs. $\sqrt{13}\approx 3,6.$
Svar: $3,6$Primtalsfaktorisering hjälper oss exempelvis vid förkortning av bråk, och även då vi ska bestämma värdet av större rötter.
Vad är $\boldsymbol{\sqrt{1764}?}$
Vi primtalsfaktoriserar $1764$ på vanligt sätt vilket ger oss $1764=2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$
$\Rightarrow$ $\sqrt{1764} =\sqrt{2\cdot2}\cdot\sqrt{3\cdot3}\cdot\sqrt{7\cdot7}=$
$=\sqrt4\cdot\sqrt9\cdot\sqrt{49}=2\cdot3\cdot7 = 42$
Svar: $42$Lär dig närmevärdet av vissa ofta återkommande tal för att spara tid.
Vid avrundning kan det vara viktigt att hålla sig till värdesiffror. Om vi exempelvis ska avrunda $\pi$ till tre värdesiffror så får vi $3,14.$ Siffrorna ett till nio är alltid värdesiffror. Vad gäller talet noll så följer det vissa regler:
När ett tal skrivs i grundpotensform bestäms antalet värdesiffror av koefficienten. Exempelvis har talet $1,4 \cdot 10^3$ två värdesiffror.
Då vi beräknar ett tal, exempelvis $3,14 \cdot 2$ så är det talet med minst antal värdesiffror som bestämmer hur vi formulerar vårt svar. Om vi ombeds avrunda vårt svar till gällande regler för värdesiffror så svarar vi att $3,14 \cdot 2 = 6$ eftersom talet $2$ enbart har en värdesiffra.
Vårt talsystem är ett sk. positionssystem där varje siffra har ett visst värde beroende på sin position, dvs var den är placerad i talet.
Exempel: I talet $1 749_{10}$ så är:
Med talbasen tio använder vi tio siffror (noll till nio). Om vi byter bas till fem använder vi fem siffror (noll till fyra) och i ett talsystem med basen två (det binära talsystemet) använder vi två siffror, noll och ett.
För att kunna jämföra tal med två olika baser måste vi därför alltid räkna om de båda talen till samma bas.
Hur skrivs talet $\boldsymbol{103}$ i bas $\boldsymbol{2?}$
Då basen är $10$ som i det här fallet, brukar man inte skriva ut basen - men det är inte fel att göra det om man vill vara tydlig. Ett talsystem med basen tio kallas det decimala talsystemet. Ett talsystem med basen två kallas för det binära talsystemet och skrivs bara med $0$ och $1$.
$103_{10}=1\cdot2^6+1\cdot2^5+0\cdot2^4+0\cdot2^3+1\cdot2^2+1\cdot2^1+1\cdot2^0$
Vi är noggranna med att indikera att vi har nollor på positionerna $2^4$ och $2^3.$
$103_{10}=1100111_2$
Svar:$103_{10}=1100111_2$Hur skrivs talet $\boldsymbol{1323_5}$ i bas $\boldsymbol{10?}$
$1323_5 =$
$125 + 75 + 10 + 3 = 213$
Svar: $1323_5 = 213_{10}$| $\boldsymbol{10}$ (Decimal) | $\boldsymbol{8}$ (Oktal) | $\boldsymbol{5}$ (Quinär) | $\boldsymbol{2}$ (Binär) |
|---|---|---|---|
| $1000_{10}$ | $1750_{8}$ | $13000_{5}$ | $1111101000_{2}$ |
| $100_{10}$ | $144_{8}$ | $400_{5}$ | $1100100_{2}$ |
| $80_{10}$ | $120_{8}$ | $310_{5}$ | $1010000_{2}$ |
| $60_{10}$ | $74_{8}$ | $220_{5}$ | $111100_{2}$ |
| $50_{10}$ | $62_{8}$ | $200_{5}$ | $110010_{2}$ |
| $40_{10}$ | $50_{8}$ | $130_{5}$ | $101000_{2}$ |
| $30_{10}$ | $36_{8}$ | $110_{5}$ | $11110_{2}$ |
| $20_{10}$ | $24_{8}$ | $40_{5}$ | $10100_{2}$ |
| $10_{10}$ | $12_{8}$ | $20_{5}$ | $1010_{2}$ |
| $8_{10}$ | $10_{8}$ | $13_{5}$ | $1000_{2}$ |
| $6_{10}$ | $6_{8}$ | $11_{5}$ | $110_{2}$ |
| $4_{10}$ | $4_{8}$ | $4_{5}$ | $100_{2}$ |
| $2_{10}$ | $2_{8}$ | $2_{5}$ | $10_{2}$ |
| $1_{10}$ | $1_{8}$ | $1_{5}$ | $1_{2}$ |