Hem Interaktiva Övningsprov Lösningar Gamla Högskoleprov Matematiken på Högskoleprovet Om Högskoleprovet Frågor och Svar - FAQ
Allarätt.nu Högskoleprovet Logotype
HÖGSKOLEPROVET

Allarätt.nu Högskoleprovet LogotypeHÖGSKOLEPROVET

Högskoleprovet - Gör Våra Övningsprov och Öka Dina Chanser att Komma in på Drömutbildningen!

 

STARTA Övningsprov    navigate_next
aritmetik_icon

Talföljder

Sammanfattning

Aritmetiska talföljder och aritmetiska summor

En aritmetisk talföljd har alltid samma differens mellan termerna, till exempel 1, 3, 5, 7, 9, ... Aritmetisk talföljd kan skrivas på formen: $${a}_{n}={a}_{1}+(n-1)\cdot d$$
Exempel: Aritmetisk Talföljd

En talföljd börjar 1, 5, 9, 13, ... Vad är värdet på det 20:e elementet i följden?

Eftersom det är samma differens mellan termerna i följden vet vi att det är en aritmetisk talföljd med följande egenskaper:

Värdet på den 20:e termen är då
${a}_{20}=1+(20-1)\cdot 4 = 77$.

Svar: Värdet på det 20:e elementet i talföljden = 77

Vill vi beräkna summan av de n första elementen i en aritmetisk talföljd, vad som kallas en aritmetisk summa, kan vi göra det med följande formel: $${s}_{n}=\frac{n\cdot ({a}_{1}+{a}_{n})}{2}$$

Exempel: Aritmetisk Summa

Beräkna summan av de 20 första elementen i talföljden som börjar 1, 5, 9, 13, ...

Enligt vår formel för aritmetisk summa är
${s}_{20}=\frac{20\cdot (1+77)}{2}=\frac{20\cdot (88)}{2}=10\cdot44=440$

Svar: Summan av värdet på de 20 första elementen i talföljden = 440.

Geometriska talföljder och geometriska summor

Kännetecknande för en geometrisk talföljd är att kvoten mellan två intilliggande tal är konstant.

Ett exempel på en talföljd är 5, 10, 20, 40. Vi ser här att vi har samma kvot mellan termerna:
$\frac{10}{5}=\frac{20}{10}=\frac{40}{20}=2$

Det här skrivs som: $$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=k$$

Exempel: Geometrisk Talföljd

Bestäm nästa tal i talföljden 1, 2, 4, 8, ...

Vi vet att i en geometrisk talföljd är kvoten mellan två intilliggande tal konstant. I den här talföljden är kvoten mellan talen i talföljden = k = 2. För att ta reda på nästa tal i följden behöver vi alltså multiplicera senast kända tal med 2 = 8 · 2 = 16.

Svar: Nästa tal i talföljden = 16.

Summan av de n första elementen i en geometrisk talföljd kan beräknas med formeln för geometrisk summa: $${s}_{n}=\frac{{a}_{1}\cdot \left ( {k}^{n}-1 \right )}{k-1}$$

Exempel: Geometrisk Summa

Beräkna summan av de 5 första elementen i talföljden som börjar 1, 2, 4, 8, ...

Enligt vår formel för aritmetisk summa är
${s}_{5}=\frac{1\cdot \left ( 2^{5}-1 \right )}{2-1}=31$

Svar: Summan av de 5 första elementen i talföljden = 31.