HÖGSKOLEPROVET
En talföljd börjar 1, 5, 9, 13, ... Vad är värdet på det 20:e elementet i följden?
Eftersom det är samma differens mellan termerna i följden vet vi att det är en aritmetisk talföljd med följande egenskaper:
Värdet på den 20:e termen är då
${a}_{20}=1+(20-1)\cdot 4 = 77$.
Vill vi beräkna summan av de n första elementen i en aritmetisk talföljd, vad som kallas en aritmetisk summa, kan vi göra det med följande formel: $${s}_{n}=\frac{n\cdot ({a}_{1}+{a}_{n})}{2}$$
Beräkna summan av de 20 första elementen i talföljden som börjar 1, 5, 9, 13, ...
Enligt vår formel för aritmetisk summa är
${s}_{20}=\frac{20\cdot (1+77)}{2}=\frac{20\cdot (88)}{2}=10\cdot44=440$
Kännetecknande för en geometrisk talföljd är att kvoten mellan två intilliggande tal är konstant.
Ett exempel på en talföljd är 5, 10, 20, 40. Vi ser här att vi har samma kvot mellan termerna:
$\frac{10}{5}=\frac{20}{10}=\frac{40}{20}=2$
Det här skrivs som: $$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=k$$
Bestäm nästa tal i talföljden 1, 2, 4, 8, ...
Vi vet att i en geometrisk talföljd är kvoten mellan två intilliggande tal konstant. I den här talföljden är kvoten mellan talen i talföljden = k = 2. För att ta reda på nästa tal i följden behöver vi alltså multiplicera senast kända tal med 2 = 8 · 2 = 16.
Svar: Nästa tal i talföljden = 16.Summan av de n första elementen i en geometrisk talföljd kan beräknas med formeln för geometrisk summa: $${s}_{n}=\frac{{a}_{1}\cdot \left ( {k}^{n}-1 \right )}{k-1}$$
Beräkna summan av de 5 första elementen i talföljden som börjar 1, 2, 4, 8, ...
Enligt vår formel för aritmetisk summa är
${s}_{5}=\frac{1\cdot \left ( 2^{5}-1 \right )}{2-1}=31$