En aritmetisk talföljd har alltid samma differens mellan termerna, till exempel 1, 3, 5, 7, 9, ... Aritmetisk talföljd kan skrivas på formen: $${a}_{n}={a}_{1}+(n-1)\cdot d$$
En talföljd börjar 1, 5, 9, 13, ... Vad är värdet på det 20:e elementet i följden?
Eftersom det är samma differens mellan termerna i följden vet vi att det är en aritmetisk talföljd med följande egenskaper:
Värdet på den 20:e termen är då
${a}_{20}=1+(20-1)\cdot 4 = 77$.
Vill vi beräkna summan av de n första elementen i en aritmetisk talföljd, vad som kallas en aritmetisk summa, kan vi göra det med följande formel: $${s}_{n}=\frac{n\cdot ({a}_{1}+{a}_{n})}{2}$$
Beräkna summan av de 20 första elementen i talföljden som börjar 1, 5, 9, 13, ...
Enligt vår formel för aritmetisk summa är
${s}_{20}=\frac{20\cdot (1+77)}{2}=\frac{20\cdot (88)}{2}=10\cdot44=440$
Svar: Summan av värdet på de 20 första elementen i talföljden = 440.
En klocka slår ett slag klockan ett på natten, två slag klockan två osv. Klockan 24 slår klockan 24 slag. Hur många slag slår klockan totalt under november månad?
Vi har att göra med en aritmetisk talföljd med differensen 1.
Aritmetiska summan beräknar vi med formeln ${s}_{n}=\frac{n\cdot ({a}_{1}+{a}_{n})}{2}=$
$=\frac{24\cdot (1+24)}{2}=12\cdot 25=300$ slag.
November har 30 dagar och antalet slag under november är $30 \cdot 300=$ 9000 slag.
Svar: Klockan slår 9 000 slag under november.Kännetecknande för en geometrisk talföljd är att kvoten mellan två intilliggande tal är konstant.
Ett exempel på en talföljd är 5, 10, 20, 40. Vi ser här att vi har samma kvot mellan termerna:
$\frac{10}{5}=\frac{20}{10}=\frac{40}{20}=2$
Det här skrivs som: $$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=k$$
Bestäm nästa tal i talföljden 1, 2, 4, 8, ...
Vi vet att i en geometrisk talföljd är kvoten mellan två intilliggande tal konstant. I den här talföljden är kvoten mellan talen i talföljden = k = 2. För att ta reda på nästa tal i följden behöver vi alltså multiplicera senast kända tal med 2 = 8 · 2 = 16.
Svar: Nästa tal i talföljden = 16.Summan av de n första elementen i en geometrisk talföljd kan beräknas med formeln för geometrisk summa: $${s}_{n}=\frac{{a}_{1}\cdot \left ( {k}^{n}-1 \right )}{k-1}$$
Beräkna summan av de 5 första elementen i talföljden som börjar 1, 2, 4, 8, ...
Enligt vår formel för geometrisk summa är
${s}_{5}=\frac{1\cdot \left ( 2^{5}-1 \right )}{2-1}=31$
Svar: Summan av de 5 första elementen i talföljden = 31.
På måndagen smittas en person av ett virus. Han smittar två personer dag 2 som var och en smittar två personer dag 3, osv. Vilket uttryck visar totalt antal smittade efter 20 dagar?
Utvecklingen av smittade personer är ett exempel på geometrisk talföljd med kvoten 2. För att beräkna summan efter tjugo dagar sätter vi:
Vi sätter in i vår formel för geometrisk summa, vilket ger:
$s_{20}=\frac{1(2^{20}-1)}{2-1} \approx$ 1 050 000 personer.
Svar: A. $s_{20}=\frac{1(2^{20}-1)}{2-1}$.Handskakningsproblemet förekommer ofta i matematikuppgifter och även på högskoleprovet. Det vanliga problemet brukar bestå i att beräkna antalet möjliga handskakningar i ett rum med n personer. Formeln vi kan använda känner vi igen som den aritmetiska summan, dvs. $\frac{n(n-1)}{2}$.
Formeln förklaras av att den första personen skakar han med alla i rummet utom sig själv, vilket ger (n - 1) handskakningar. Nästa person har redan skakat hand med en person, så antalet handskakningar är (n - 2). Vi får då (n - 1) + (n - 2) + ... + 2 + 1 antalet handskakningar, vilket är samma som vår formel.
Det är sju personer på en fest. Alla personer skakar hand med varandra exakt en gång.
Kvantitet I: Totala antalet handskakningar
Kvantitet II: 21
Lösningsförslag 2
Vi använder handskakningsformeln: Antal handskakningar = $\frac{n(n-1)}{2}$ där n = Antalet personer. Sätter vi n = 7 enligt vår uppgift får vi:
$\frac{n(n-1)}{2}=\frac{7(7-1)}{2}=21$
Svar: Kvantitet I = Kvantitet II.