Rötter på Högskoleprovet

Linjära ekvationer Olikheter Procent och promille Talföljder Räta linjens ekvation Enheter och prefix Omkrets, area och volym Medelvärde, median… Tabeller

Andragradsekvationer Bråk och decimaler Räkneregler Funktioner Fyrhörningar Trianglar Sannolikhet Kartor

Ekvationer i bråkformat Potensregler Rötter Potens-/exponentialfunktioner Cirkeln Likformighet Vinklar och parallella linjer Diagram

Rötter förekommer i många matematikuppgifter på högskoleprovet. Här går vi igenom kvadratrötter, kubikrötter, rotregler, uppskattning av rötter, primtalsfaktorisering och sambandet mellan rötter och potenser med tydliga exempel.

Sammanfattning Rötter på Högskoleprovet

Rotregel	Exempel
$\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}$	$\sqrt{3}\cdot \sqrt{12}=\sqrt{36}=6$
$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$	$\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\frac32$
$a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^nb}$	$2\sqrt{2}=\sqrt{2^22}=\sqrt{8}$
$x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m$	$8^{2/3} = \sqrt[3]{8^2} = 2^2=4$
$\sqrt{x^2} = \left\| x \right\|$	$\sqrt{64}=\sqrt{8^2}=8$

Kvadratrötter

Kvadratroten ur talet $x$ betecknas $\sqrt{x}$ och läses kvadratroten ur $x$ eller bara roten ur $x.$ Exempelvis $\sqrt{4}=2$ eftersom $2 \cdot 2 = 4.$

Eftersom $\sqrt{x} = x^{1/2}$, vilket är en potens med basen $x$ och exponenten $1/2,$ så gäller potenslagarna även för rötter:

$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$
$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
$a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}$
$x^{m/2} = \sqrt{x^m} = (\sqrt{x})^m$

Använd multiplikationstabellen för att lära dig vanligt förekommande rötter, exempel:

$\sqrt {400} = 20$ eftersom $20\cdot20=400$
$\sqrt {225} = 15$ eftersom $15\cdot15=225$
$\sqrt {100} = 10$ eftersom $10\cdot10=100$
$\sqrt {25} = 5$ eftersom $5\cdot5=25$

Du kan även använda multiplikationstabellen för att kontrollera om du gjort rätt antagande om värdet av roten ur ett tal. $\sqrt{2}\approx 1,4$ eftersom $1,4^2 = 1,96 \approx 2.$

Exempel: Kvadratrötter 1

Vad är $\boldsymbol{\sqrt{64 \cdot 81}?}$

$\sqrt{64 \cdot 81} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{81} = 8 \cdot 9 = 72$

Svar: $\sqrt{64 \cdot 81} = 72$

Exempel: Kvadratrötter 2

Vad är $\boldsymbol{\frac{\sqrt75}{\sqrt3}?}$

$\frac{\sqrt75}{\sqrt3}=\sqrt{\frac{75}3}=\sqrt{25}=5$

Svar: $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt3}=5$

Exempel: Kvadratrötter 3

Vilken kvantitet är störst?

I. $\sqrt{27} - \sqrt{12}$

II. $\sqrt{3}$

För kvantitet I utnyttjar vi rotreglerna och skriver:

$\sqrt{27} - \sqrt{12} = \sqrt{9 \cdot 3} - \sqrt{4 \cdot 3} =$

$\sqrt{9} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{4} \cdot \sqrt{3}=$

$3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}=$

$=\sqrt{3}(3-2)=\sqrt{3}$

Svar: Kvantitet I = kvantitet II

Uppskatta rötter

Utnyttja de rötter du kan för att lösa uppgifter med rötter du inte kan.

Exempel: Uppskatta rötter

Vad är $\boldsymbol{\sqrt{13}?}$

$\sqrt{13}$ är större än $\sqrt{9}=3$ och mindre än $\sqrt{16}=4$.

$\sqrt{13}$ ligger mellan $\sqrt9=3$ och $\sqrt{16}=4$. Vi testar $3,6$ och får $3,6^2=12,96$, vilket ligger mycket nära $13$. Därför är $\sqrt{13}\approx3,6$.

Svar: $\sqrt{13}\approx3,6$

Beräkna större kvadratrötter genom primtalsfaktorisering

Primtalsfaktorisering är användbart även för att beräkna rötter, vilket vi visar i nästa exempel.

Exempel: Beräkna rötter med hjälp av primtalsfaktorisering

Vad är $\boldsymbol{\sqrt{2916}?}$

$2916$ är ett jämnt tal som vi kan dela två gånger och får då $729.$

$729$ är jämnt delbart med tre $(7 + 2 + 9 = 18)$ och $\frac{729}{3}=243.$

$243$ är jämnt delbart med tre $(2 + 4 + 3 = 9)$ och $\frac{243}{3}=81.$

$81$ känner vi igen från nians tabell som $81=9 \cdot 9 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3.$

Dvs. $2916 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$

$ = 4 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9$

Vi drar roten ur bägge led vilket ger $\sqrt{2916}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{9}$

$=2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 54$

Svar: $\sqrt{2916}=54$

Kubikrötter och högre ordningens rötter

Kubikroten ur ett tal $x$ betecknas $\sqrt[3]{x}$ och läses kubikroten ur $x$ eller tredjeroten ur $x.$ Exempelvis $\sqrt[3]{1000}=10$ eftersom $10^3 = 1000.$

Till skillnad från kvadratrötter är kubikrötter även definierade för negativa tal. Exempelvis är $\sqrt[3]{-8}=-2$ eftersom $(-2)^3 = -8.$

Allmänt gäller att $\sqrt[n]{x}=x^{1/n}.$ Exempelvis är $\sqrt[4]{10000}=10000^{\frac{1}{4}}=10$ eftersom $10^4 = 10 000.$ Även för kubikrötter och högre ordningens rötter gäller potenslagarna:

$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$
$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
$a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^nb}$
$x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m$

Exempel: Kubikrötter 1

Vad är $\boldsymbol{8^{\frac{2}{3}}?}$

I potensen $8^{\frac{2}{3}}$ så är basen 8 och exponenten $\frac23$. Den här uppgiften kan vi beräkna antingen genom att använda oss av potensregeln för multiplikation av potenser med samma bas eller potenslagen för exponenter med bråk:

Potenregeln för multiplikation: $8^{\frac{2}{3}}=8^{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{8} = 2 \cdot 2=4$

Potenslagen för exponenter med bråk: ${8}^{{}^{\frac{2}{3}}}=\sqrt[3]{8^2} = (\sqrt[3]{8})^2=2^2=4$

Svar: $8^{\frac{2}{3}}=4$

Exempel: Kubikrötter 2

Vad är $\boldsymbol{\sqrt[3]{27}\cdot27^{-1/3}?}$

Vi kan antingen skriva om talet med negativ exponent som ett bråk eller utnyttja potenslagen för multiplikation:

Vi skriver om talet som ett bråk: $\sqrt[3]{27}\cdot27^{-1/3}=\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{27}}=1$

Vi utnyttjar potenslagen för multiplikation: $\sqrt[3]{27}\cdot27^{-1/3}=27^{1/3+-1/3}=27^0=1$

Svar: $\sqrt[3]{27}\cdot27^{-1/3}=1$

Exempel: Kubikrötter 3

Vad är $\boldsymbol{\large{\boldsymbol{\frac{\sqrt[3]{729}}{\sqrt[3]{27}}?}}}$

Med våra räkneregler till hjälp vet vi att både $729$ och $27$ är jämnt delbara med tre. Primtalsfaktorisering ger:

$729=3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=9\cdot9\cdot9=9^3$
$27=3\cdot3\cdot3=3^3$

$\large{\frac{\sqrt[3]{729}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{\sqrt[3]{9^3}}{\sqrt[3]{3^3}}=}\frac93=3$

Svar: $\large{\frac{\sqrt[3]{729}}{\sqrt[3]{27}}}=3$