Rötter

Sammanfattning

Regel	Exempel
$\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}$	$\sqrt{3}\cdot \sqrt{12}=\sqrt{36}=6$
$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$	$\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\frac32$
$a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^nb}$	$2\sqrt{2}=\sqrt{2^22}=\sqrt{8}$
$x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m$	$8^{2/3} = \sqrt[3]{8^2} = 2^2=4$

Kvadratrötter

Kvadratroten ur talet x betecknas $\sqrt{x}$ och läses kvadratroten ur x eller bara roten ur x. Exempelvis $\sqrt{4}=2$ eftersom 2 · 2 = 4.

Eftersom $\sqrt{x} = x^{1/2}$, vilket är en potens med basen x och exponenten 1/2, så gäller potenslagarna även för rötter:

$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$
$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
$a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}$
$x^{m/2} = \sqrt{x^m} = (\sqrt{x})^m$

Exempel: Kvadratrötter 1

Beräkna $\sqrt{64 \cdot 81}$

$\sqrt{64 \cdot 81} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{81} = 8 \cdot 9 = 72$

Svar: $\sqrt{64 \cdot 81}$ = 72

Exempel: Kvadratrötter 2

Beräkna $\frac{\sqrt75}{\sqrt3}$

$\frac{\sqrt75}{\sqrt3}=\sqrt{\frac{75}3}=\sqrt{25}=5$

Svar: $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt3}=5$

Kubikrötter och högre ordningens rötter

Kubikroten ur ett tal x betecknas $\sqrt[3]{x}$ och läsas kubikroten ur x eller tredjeroten ur x. Exempelvis $\sqrt[3]{1000}=10$ eftersom 10 · 10 · 10 = 1000.

Till skillnad från kvadratrötter är kubikrötter även definierade för negativa tal. Exempelvis är $\sqrt[3]{-8}=-2$ eftersom -2 · -2 · -2 = -2³ = -8.

Allmänt gäller att $\sqrt[a]{b}={b}^{{}^{\frac{1}{a}}}$. Exempelvis är $\sqrt[4]{10000}=10000^{\frac{1}{4}}=10$ eftersom 10⁴ = 10 000. Även för kubikrötter och högre ordningens rötter gäller potenslagarna:

$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$
$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
$a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^nb}$
$x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m$

Exempel: Kubikrötter 1

Beräkna $8^{\frac{2}{3}}$

I potensen $8^{\frac{2}{3}}$ så är basen 8 och exponenten $\frac23$. Den här uppgiften kan vi beräkna endera genom att använda oss av potenslagen för multiplikation eller potenslagen för exponenter med bråk:

Potenslagen för multiplikation: $8^{\frac{2}{3}}=8^{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{8} = 2 \cdot 2=4$

Potenslagen för exponenter med bråk: ${8}^{{}^{\frac{2}{3}}}=\sqrt[3]{8^2} = (\sqrt[3]{8})^2=2^2=4$

Svar: $8^{\frac{2}{3}}=4$

Exempel: Kubikrötter 2

Beräkna $\sqrt[3]{27}\cdot27^{-1/3}$

Vi kan endera skriva om talet med negativ exponent som ett bråk eller utnyttja potenslagen för multiplikation:

Vi skriver om talet som ett bråk: $\sqrt[3]{27}\cdot27^{-1/3}=\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{27}}=1$

Vi utnyttjar potenslagen för multiplikation: $\sqrt[3]{27}\cdot27^{-1/3}=27^{1/3+-1/3}=27^0=1$

Svar: $\sqrt[3]{27}\cdot27^{-1/3}=1$