Hem Interaktiva Övningsprov Lösningar Gamla Högskoleprov Matematiken på Högskoleprovet Om Högskoleprovet Frågor och Svar - FAQ
Allarätt.nu Högskoleprovet Logotype
HÖGSKOLEPROVET

Allarätt.nu Högskoleprovet LogotypeHÖGSKOLEPROVET

Högskoleprovet - Förbered dig till Högskoleprovet på AllaRätt.nu och nå Drömutbildningen!

 

 STARTA ÖVNINGSPROV navigate_next 
    Instagram   
 STARTA ÖVNINGSPROV navigate_next 
function_icon

Räta linjens ekvation på Högskoleprovet

Sammanfattning Räta linjens ekvation på Högskoleprovet

Räta linjens ekvation och betydelse

Räta linjens ekvation skrivs: $$y=kx+m$$ k är linjens riktningskoefficient. m kallas konstantterm eller intercept och bestämmer var kurvan skär y-axeln.

Exempel: Räta Linjens Ekvation

räta-linjens-ekvation-exempel1

y = 2x + 2
k > 0: Linjen lutar snett uppåt.
m > 0: Linjen skär y-axeln ovanför origo.

räta-linjens-ekvation-exempel2

y = -2x - 2
k < 0: Linjen lutar snett nedåt.
m < 0: Linjen skär y-axeln nedanför origo.

räta-linjens-ekvation-exempel3

y = 2x + 0
k > 0: Linjen lutar snett uppåt.
m = 0: Linjen går genom origo.

räta-linjens-ekvation-exempel4

y = 0x + 2
k = 0: Linjen är horisontell och parallell med x-axeln. y = 2 för alla värden på x.

räta-linjens-ekvation-exempel5

x = 1
Linjen är vertikal och parallell med y-axeln. x = 1 för alla värden på y.

En rät linje som passerar genom två punkter

Om två punkter på en linje är givna kan riktningskoefficienten bestämmas genom formeln: $$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$
Exempel: Bestäm Räta Linjens Ekvation

En rät linje passerar genom punkterna P1 (0, -2) och P2 (1, 1). Vad är linjens ekvation?

Riktningskoefficienten k bestäms genom formeln:
$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Med P1 och P2 insatt får vi:
$k=\frac{1--2}{1-0}=3$
m-värdet får vi givet i punkten P1 då m är lika med y-värdet där x = 0, dvs m = -2.
Svar: Linjens ekvation är 3x - 2.

Enpunktsformeln

För att bestämma en linjes ekvation då riktningskoefficienten och en punkt på linjen är given, kan vi använda enpunktformeln. $$y-y_1=k(x-x_1)$$
Exempel: Enpunktsformeln

En linje har riktningskoefficienten -2 och går genom punkten (1, 2). Bestäm linjens ekvation.

Vi sätter in de värden vi har i enpunktsformeln
$y-2=-2(x-1) \Rightarrow y-2=-2x+2 \Rightarrow\\y=-2x+4$
Svar: Linjens ekvation är y = -2x + 4

Parallella linjer och vinkelräta linjer

2 räta linjer y1 och y2 är parallella om de har samma k-värde, dvs k1 = k2. Omvänt gäller att linjerna är vinkelräta om $\frac{k_1}{k_2}=-1$.

Exempel: Parallella Linjer

Bestäm konstanten a i ekvationen ax + 4y - 2 = 0 så att motsvarande linje är parallell med linjen x + 5y + 1 = 0.

Ekvationerna i texten är skrivna på sk allmän form. Vi skriver om dessa: Nu är ekvationerna för våra linjer skrivna på sk. k-form. Vi vet att då två linjer är parallella har de samma k-värde. Det gör att vi kan sätta respektive linjes uttryck för k lika med varandra:
$\frac{-ax}{4}=\frac{-x}{5}$
Korsvis multiplikation ger:
$a=\frac{4x}{5x}=\frac45$
Svar: $a = \frac45$

Exempel: Ett Geometriskt Objekts Egenskaper

Representerar koordinaterna A(-1 , 0), B(5 , 2), C(4 , 5) och D(-2 , 3) hörnen av en rektangel?

Vi vet att egenskaperna för en rektangel är: Låt oss testa om koordinaterna uppfyller egenskaperna för en rektangel.
Vi börjar med att beräkna lutningen för att se om sidorna är parallella. Lutningen k ges av formeln: $$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$ $k_{AB}=\frac{-2-0}{5-(-1)}=\frac13$
$k_{BC}=\frac{5-2}{4-5}=-3$
$k_{CD}=\frac{3-5}{-2-4}=\frac13$
$k_{DA}=\frac{0-3}{-1-(-2)}=-3$
Sidorna AB och CD är parallella med lutningen $\frac13$ och sidorna BC och DA är parallella med lutningen -3.
För att beräkna om sidorna är lika långa använder vi avståndsformeln: $$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$ LängdAB= $\sqrt{(5-(-1))^2+(-2-0)^2}=\sqrt{40}$
LängdBC= $\sqrt{(5-2)^2+(4-5)^2}=\sqrt{10}$
LängdCD= $\sqrt{(-2-4)^2+(3-5)^2}=\sqrt{40}$
LängdDA= $\sqrt{(-1-(-2))^2+(0-3)^2}=\sqrt{10}$
Längden på rektangelns bas = $\sqrt{40}$ längdenheter och höjd = $\sqrt{10}$ längdenheter

För att testa om närliggande sidor är vinkelräta beräknar vi produkten av respektive linjes k-värde. Vi vet att två linjer är vinkelräta om produkten av respektive linjes k-värde = -1
$k_{AB} \cdot k_{BC} = \frac13 \cdot -3 = -1$
$k_{CD} \cdot k_{DA} = \frac13 \cdot -3 = -1$
Vi kan konstatera att de närliggande sidorna är vinkelräta och därmed är alla egenskaper för rektangeln uppfyllda.

Svar: Ja, koordinaterna representerar hörnen i en rektangel.

rektangel-exempel