Räta linjens ekvation

Sammanfattning

Räta linjens ekvation skrivs $y=kx+m$

k är linjens riktningskoefficient och bestämmer lutningen på kurvan.
m bestämmer var kurvan skär y-axeln.

Om två punkter är givna så är $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Om k och en punkt på kurvan är känd ger enpunktsformeln kurvans funktion:

$y-y_1=k(x-x_1)$

2 linjer är parallella om de har samma k-värde.
2 linjer är vinkelräta om $\frac{k_1}{k_2}=-1$.

Räta linjens ekvation

Räta linjens ekvation skrivs: $$y=kx+m$$ k är linjens riktningskoefficient. m kallas konstantterm eller intercept och bestämmer var kurvan skär y-axeln.

Exempel: Räta Linjens Ekvation

räta-linjens-ekvation-exempel1

y = 2x + 2
k > 0: Linjen lutar snett uppåt.
m > 0: Linjen skär y-axeln ovanför origo.

räta-linjens-ekvation-exempel2

y = -2x - 2
k < 0: Linjen lutar snett nedåt.
m < 0: Linjen skär y-axeln nedanför origo.

räta-linjens-ekvation-exempel3

y = 2x + 0
k > 0: Linjen lutar snett uppåt.
m = 0: Linjen går genom origo.

räta-linjens-ekvation-exempel4

y = 0x + 2
k = 0: Linjen är horisontell och parallell med x-axeln. y = 2 för alla värden på x.

räta-linjens-ekvation-exempel5

x = 1
Linjen är vertikal och parallell med y-axeln. x = 1 för alla värden på y.

En rät linje som passerar genom två punkter

Om två punkter på en linje är givna kan riktningskoefficienten bestämmas genom formeln: $$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Exempel: Bestäm Räta Linjens Ekvation

En rät linje passerar genom punkterna P₁ (0, -2) och P₂ (1, 1). Vad är linjens ekvation?

Riktningskoefficienten k bestäms genom formeln:
$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Med P₁ och P₂ insatt får vi:
$k=\frac{1--2}{1-0}=3$
m-värdet får vi givet i punkten P₁ då m är lika med y-värdet där x = 0, dvs m = -2.
Svar: Linjens ekvation är 3x - 2.

Enpunktsformeln

För att bestämma en linjes ekvation då riktningskoefficienten och en punkt på linjen är given, kan vi använda enpunktformeln. $$y-y_1=k(x-x_1)$$

Exempel: Enpunktsformeln

En linje har riktningskoefficienten -2 och går genom punkten (1, 2). Bestäm linjens ekvation.

Vi sätter in de värden vi har i enpunktsformeln
$y-2=-2(x-1) \Rightarrow y-2=-2x+2 \Rightarrow\\y=-2x+4$
Svar: Linjens ekvation är y = -2x + 4

Parallella linjer och vinkelräta linjer

2 räta linjer y1 och y2 är parallella om de har samma k-värde, dvs k1 = k2. Omvänt gäller att linjerna är vinkelräta om $\frac{k_1}{k_2}=-1$.

Exempel: Parallella Linjer

Bestäm konstanten a i ekvationen ax + 4y - 2 = 0 så att motsvarande linje är parallell med linjen x + 5y + 1 = 0.

Ekvationerna i texten är skrivna på sk allmän form. Vi skriver om dessa:

Vår första linje är: ax + 4y - 2 = 0
4y = -ax + 2
y = $\frac{-ax}{4}+\frac12$
Vår andra linje är: x + 5y + 1 = 0
5y = -x -1
y = $\frac{-x}{5}-\frac15$

Nu är ekvationerna för våra linjer skrivna på sk. k-form. Vi vet att då två linjer är parallella har de samma k-värde. Det gör att vi kan sätta respektive linjes uttryck för k lika med varandra:
$\frac{-ax}{4}=\frac{-x}{5}$
Korsvis multiplikation ger:
$a=\frac{4x}{5x}=\frac45$
Svar: $a = \frac45$

Exempel: Ett Geometriskt Objekts Egenskaper

Representerar koordinaterna A(-1 , 0), B(5 , 2), C(4 , 5) och D(-2 , 3) hörnen av en rektangel?

Vi vet att egenskaperna för en rektangel är:

Motstående sidor parallella och lika långa
Närliggande sidor är vinkelräta.

Låt oss testa om koordinaterna uppfyller egenskaperna för en rektangel.
Vi börjar med att beräkna lutningen för att se om sidorna är parallella. Lutningen k ges av formeln: $$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$ $k_{AB}=\frac{-2-0}{5-(-1)}=\frac13$
$k_{BC}=\frac{5-2}{4-5}=-3$
$k_{CD}=\frac{3-5}{-2-4}=\frac13$
$k_{DA}=\frac{0-3}{-1-(-2)}=-3$
Sidorna AB och CD är parallella med lutningen $\frac13$ och sidorna BC och DA är parallella med lutningen -3.
För att beräkna om sidorna är lika långa använder vi avståndsformeln: $$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$ Längd_AB= $\sqrt{(5-(-1))^2+(-2-0)^2}=\sqrt{40}$
Längd_BC= $\sqrt{(5-2)^2+(4-5)^2}=\sqrt{10}$
Längd_CD= $\sqrt{(-2-4)^2+(3-5)^2}=\sqrt{40}$
Längd_DA= $\sqrt{(-1-(-2))^2+(0-3)^2}=\sqrt{10}$
Längden på rektangelns bas = $\sqrt{40}$ längdenheter och höjd = $\sqrt{10}$ längdenheter

För att testa om närliggande sidor är vinkelräta beräknar vi produkten av respektive linjes k-värde. Vi vet att två linjer är vinkelräta om produkten av respektive linjes k-värde = -1
$k_{AB} \cdot k_{BC} = \frac13 \cdot -3 = -1$
$k_{CD} \cdot k_{DA} = \frac13 \cdot -3 = -1$
Vi kan konstatera att de närliggande sidorna är vinkelräta och därmed är alla egenskaper för rektangeln uppfyllda.

Svar: Ja, koordinaterna representerar hörnen i en rektangel.

rektangel-exempel