Räta linjens ekvation på Högskoleprovet
Sammanfattning Räta linjens ekvation på Högskoleprovet
- Räta linjens ekvation skrivs $y=kx+m$
- k är linjens riktningskoefficient och bestämmer lutningen på kurvan.
- m bestämmer var kurvan skär y-axeln.
- Om två punkter är givna så är $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
- Om k och en punkt på kurvan är känd ger enpunktsformeln kurvans funktion:
- 2 linjer är parallella om de har samma k-värde.
- 2 linjer är vinkelräta om $\frac{k_1}{k_2}=-1$.
Räta linjens ekvation och betydelse
Räta linjens ekvation skrivs:
$$y=kx+m$$
k är linjens riktningskoefficient. m kallas konstantterm eller intercept och bestämmer var kurvan skär y-axeln.
Exempel: Räta Linjens Ekvation

y = 2x + 2
k > 0: Linjen lutar snett uppåt.
m > 0: Linjen skär y-axeln ovanför origo.

y = -2x - 2
k < 0: Linjen lutar snett nedåt.
m < 0: Linjen skär y-axeln nedanför origo.

y = 2x + 0
k > 0: Linjen lutar snett uppåt.
m = 0: Linjen går genom origo.

y = 0x + 2
k = 0: Linjen är horisontell och parallell med x-axeln. y = 2 för alla värden på x.

x = 1
Linjen är vertikal och parallell med y-axeln. x = 1 för alla värden på y.
En rät linje som passerar genom två punkter
Om två punkter på en linje är givna kan riktningskoefficienten bestämmas genom formeln:
$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$
Exempel: Bestäm Räta Linjens Ekvation
En rät linje passerar genom punkterna P1 (0, -2) och P2 (1, 1). Vad är linjens ekvation?
Riktningskoefficienten k bestäms genom formeln:
$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Med P
1 och P
2 insatt får vi:
$k=\frac{1--2}{1-0}=3$
m-värdet får vi givet i punkten P
1 då m är lika med y-värdet där x = 0, dvs m = -2.
Svar: Linjens ekvation är 3x - 2.
Enpunktsformeln
För att bestämma en linjes ekvation då riktningskoefficienten och en punkt på linjen är given, kan vi använda enpunktformeln.
$$y-y_1=k(x-x_1)$$
Exempel: Enpunktsformeln
En linje har riktningskoefficienten -2 och går genom punkten (1, 2). Bestäm linjens ekvation.
Vi sätter in de värden vi har i enpunktsformeln
$y-2=-2(x-1) \Rightarrow y-2=-2x+2 \Rightarrow\\y=-2x+4$
Svar: Linjens ekvation är y = -2x + 4
Parallella linjer och vinkelräta linjer
2 räta linjer y1 och y2 är parallella om de har samma k-värde, dvs k1 = k2. Omvänt gäller att linjerna är vinkelräta om $\frac{k_1}{k_2}=-1$.
Exempel: Parallella Linjer
Bestäm konstanten a i ekvationen ax + 4y - 2 = 0 så att motsvarande linje är parallell med linjen x + 5y + 1 = 0.
Ekvationerna i texten är skrivna på sk
allmän form. Vi skriver om dessa:
- Vår första linje är: ax + 4y - 2 = 0
4y = -ax + 2
y = $\frac{-ax}{4}+\frac12$
- Vår andra linje är: x + 5y + 1 = 0
5y = -x -1
y = $\frac{-x}{5}-\frac15$
Nu är ekvationerna för våra linjer skrivna på sk.
k-form. Vi vet att då två linjer är parallella har de samma k-värde. Det gör att vi kan sätta respektive linjes uttryck för k lika med varandra:
$\frac{-ax}{4}=\frac{-x}{5}$
Korsvis multiplikation ger:
$a=\frac{4x}{5x}=\frac45$
Svar: $a = \frac45$
Exempel: Ett Geometriskt Objekts Egenskaper
Representerar koordinaterna A(-1 , 0), B(5 , 2), C(4 , 5) och D(-2 , 3) hörnen av en rektangel?
Vi vet att egenskaperna för en rektangel är:
- Motstående sidor parallella och lika långa
- Närliggande sidor är vinkelräta.
Låt oss testa om koordinaterna uppfyller egenskaperna för en rektangel.
Vi börjar med att beräkna lutningen för att se om sidorna är parallella. Lutningen k ges av formeln:
$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$
$k_{AB}=\frac{-2-0}{5-(-1)}=\frac13$
$k_{BC}=\frac{5-2}{4-5}=-3$
$k_{CD}=\frac{3-5}{-2-4}=\frac13$
$k_{DA}=\frac{0-3}{-1-(-2)}=-3$
Sidorna AB och CD är parallella med lutningen $\frac13$ och sidorna BC och DA är parallella med lutningen -3.
För att beräkna om sidorna är lika långa använder vi avståndsformeln:
$$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$
Längd
AB= $\sqrt{(5-(-1))^2+(-2-0)^2}=\sqrt{40}$
Längd
BC= $\sqrt{(5-2)^2+(4-5)^2}=\sqrt{10}$
Längd
CD= $\sqrt{(-2-4)^2+(3-5)^2}=\sqrt{40}$
Längd
DA= $\sqrt{(-1-(-2))^2+(0-3)^2}=\sqrt{10}$
Längden på rektangelns bas = $\sqrt{40}$ längdenheter och höjd = $\sqrt{10}$ längdenheter
För att testa om närliggande sidor är vinkelräta beräknar vi produkten av respektive linjes k-värde. Vi vet att två linjer är vinkelräta om produkten av respektive linjes k-värde = -1
$k_{AB} \cdot k_{BC} = \frac13 \cdot -3 = -1$
$k_{CD} \cdot k_{DA} = \frac13 \cdot -3 = -1$
Vi kan konstatera att de närliggande sidorna är vinkelräta och därmed är alla egenskaper för rektangeln uppfyllda.
Svar: Ja, koordinaterna representerar hörnen i en rektangel.
