Räta linjens ekvation på Högskoleprovet

Bestäm riktningskoefficienten och m-värdet för de två linjerna nedan.

k-värdet kan vi beräkna grafiskt genom att bestämma hur mycket linjen förflyttar sig i y-led för varje förflyttning i x-led. Studerar vi de två linjerna ser vi att för den första linjen är $k=\frac12$ och för den andra linjen är $k=2$. m-värdet är punkten där linjerna skär y-axeln, vilket är $-1$ för båda.

Svar: k-värdet är $\frac12$ och m-värdet är $-1$ för den första linjen. k-värdet är $2$ och m-värdet är $-1$ för den andra linjen.

A. y = 2x + 2

• k > 0: Linjen lutar snett uppåt.
• m > 0: Linjen skär y-axeln ovanför origo.

B. y = -2x - 2

• k < 0: Linjen lutar snett nedåt.
• m < 0: Linjen skär y-axeln nedanför origo.

C. y = 2x + 0

• k > 0: Linjen lutar snett uppåt.
• m = 0: Linjen går genom origo.

D. y = 0x + 2

• k = 0: Linjen är horisontell och parallell med x-axeln.
• y = 2 för alla värden på x.

E. x = 1

• Linjen är vertikal och parallell med y-axeln.
• x = 1 för alla värden på y.

En rät linje passerar genom punkterna P₁ (0, -2) och P₂ (1, 1). Vad är linjens ekvation?

Riktningskoefficienten k bestäms genom formeln:
$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Med P₁ och P₂ insatt får vi:
$k=\frac{1--2}{1-0}=3$
m-värdet får vi givet i punkten P₁ då m är lika med y-värdet där x = 0, dvs m = -2.
Svar: Linjens ekvation är 3x - 2.

En linje har ekvationen y = 3x + 3. Bestäm koordinaterna för var linjen skär x-axeln respektive y-axeln.

Vi sätter ekvationens y-värde = 0: 3x + 3 = 0 vilket ger x = -1. Skärningspunkt med x-axeln är således (-1, 0).

Vi sätter ekvationens x-värde = 0: y = 3 · 0 + 3 vilket ger y = 3. Skärningspunkt med y-axeln är således (0, 3). Notera att y-värdet är samma som linjens m-värde.

Svar: Linjens skärningspunkt med x-axeln är (-1, 0) och med y-axeln (0, 3).

En linje har riktningskoefficienten -2 och går genom punkten (1, 2). Bestäm linjens ekvation.

Vi sätter in de värden vi har i enpunktsformeln
$y-2=-2(x-1) \Rightarrow y-2=-2x+2$
$\Rightarrow y=-2x+4$

Svar: Linjens ekvation är y = -2x + 4

Temperaturen på 20 meter över havet (m.ö.h.) är 20°C. Temperaturen faller linjärt med ökad höjd och är 10°C vid höjden 1 000 m.ö.h.

1. Beskriv höjden som en ekvation av temperaturen.
2. Vid vilken höjd är temperaturen noll grader?

Låt oss kalla temperaturen x, höjden y och y = kx + m. I texten får vi två punkter:

• $P_1 = (20 , 20)$
• $P_2 = (10, 1000)$

Med två punkter kan vi använda oss av formeln för att beräkna k-värdet:

$k=\frac{1000-20}{10-20}= -98$.

Vi sätter in $P_1$ och k-värdet i enpunktsformeln och löser ut:

$y - 20 = -98(x-20) \Rightarrow y = -98x + 1980.$

Sätter vi x = 0 i vår ekvation får vi höjden y = 1980 m.

Svar: A. Ekvationen är $y = -98x + 1980$ där x är temperaturen och y är höjden. B. Vid 1980 m. är temperaturen 0°C.

Bestäm konstanten a i ekvationen y₁ - ax - 6 = 0 så att motsvarande linje är parallell med linjen y₂ - 3x + 2 = 0.

Ekvationerna i texten är skrivna på sk allmän form. Vi skriver om dessa:

• Vår första linje är: y₁ - ax - 6 = 0
  y₁ = ax + 6
• Vår andra linje är: y₂ - 3x + 2 = 0
  y₂ = 3x - 2

Nu är ekvationerna för våra linjer skrivna på sk. k-form. Vi vet att då två linjer är parallella har de samma k-värde och vi kan dra slutsatsen att a = 3.

Svar: $a = 3$

f(x) = 2x + 4. g(x) är vinkelrät mot f(x). g(x) passerar genom (4, 0). Vad är g(x)?

Då två linjer är vinkelräta är $k_1 \cdot k_2=-1$. k-värdet för g(x) får vi alltså om vi dividerar k-värdet för f(x) med -1 = $-\frac12$.

g(x) = $-\frac{x}{2} + m$

Enligt texten ska g(x) passera genom punkten (4,0), dvs. g(4) = 0:

$g(4) = 0 \Leftrightarrow -\frac{4}{2} + m = 0 \Rightarrow m = 2$.

Svar: g(x) = $-\frac{x}{2} + 2$

Representerar koordinaterna A(-1 , 0), B(5 , 2), C(4 , 5) och D(-2 , 3) hörnen av en rektangel?

Vi vet att egenskaperna för en rektangel är:

• Motstående sidor parallella och lika långa
• Närliggande sidor är vinkelräta.

Låt oss testa om koordinaterna uppfyller egenskaperna för en rektangel.
Vi börjar med att beräkna lutningen för att se om sidorna är parallella. Lutningen k ges av formeln: $$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$ $k_{AB}=\frac{-2-0}{5-(-1)}=\frac13$
$k_{BC}=\frac{5-2}{4-5}=-3$
$k_{CD}=\frac{3-5}{-2-4}=\frac13$
$k_{DA}=\frac{0-3}{-1-(-2)}=-3$
Sidorna AB och CD är parallella med lutningen $\frac13$ och sidorna BC och DA är parallella med lutningen -3.
För att beräkna om sidorna är lika långa använder vi avståndsformeln: $$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$ Längd_AB= $\sqrt{(5-(-1))^2+(-2-0)^2}=\sqrt{40}$
Längd_BC= $\sqrt{(5-2)^2+(4-5)^2}=\sqrt{10}$
Längd_CD= $\sqrt{(-2-4)^2+(3-5)^2}=\sqrt{40}$
Längd_DA= $\sqrt{(-1-(-2))^2+(0-3)^2}=\sqrt{10}$
Längden på rektangelns bas = $\sqrt{40}$ längdenheter och höjd = $\sqrt{10}$ längdenheter

För att testa om närliggande sidor är vinkelräta beräknar vi produkten av respektive linjes k-värde. Vi vet att två linjer är vinkelräta om produkten av respektive linjes k-värde = -1
$k_{AB} \cdot k_{BC} = \frac13 \cdot -3 = -1$
$k_{CD} \cdot k_{DA} = \frac13 \cdot -3 = -1$
Vi kan konstatera att de närliggande sidorna är vinkelräta och därmed är alla egenskaper för rektangeln uppfyllda.

Svar: Ja, koordinaterna representerar hörnen i en rektangel.