Interaktiva Övningsprov Lösningar Gamla Högskoleprov Matematiken på Högskoleprovet Tips och Strategier Om Högskoleprovet Frågor och Svar - FAQ
Förbered dig till Högskoleprovet på AllaRätt.nu och nå Drömutbildningen!
aritmetik_icon

Räkneregler på Högskoleprovet

Sammanfattning Räkneregler på Högskoleprovet

De fyra räknesätten

De fyra räknesätten är:
  1. Addition som skrivs med plustecken $+$
    term $+$ term = summa.
  2. Subtraktion skrivs med minustecken $-$
    term $-$ term = differens.
  3. Multiplikation skrivs med gångertecken eller multiplikationstecken $\cdot$
    faktor $\cdot$ faktor = produkt.
  4. Division skrivs med bråkstreck
    $\frac{täljare}{nämnare}$ = kvot

Prioriteringsregler, räkneordning

Då vi beräknar ett uttryck gör vi det enligt en viss ordning och prioritet enligt följande:
  1. Parenteser
  2. Potenser
  3. Multiplikation och division
  4. Addition och subtraktion
Exempel: Räkneordning

Beräkna 15 + 52 - 3 $\cdot$ 2 + (7 + 3) - $\frac63$

Vi följer prioriteringsreglerna:
15 + 52 - 3 $\cdot$ 2 + (7 + 3) - $\frac63$ =
15 + 52 - 3 $\cdot$ 2 + (10) - $\frac63$ =
15 + 25 - 3 $\cdot$ 2 + 10 - $\frac63$ =
15 + 25 - 6 + 10 - 2 =
50 - 8 = 42

Svar: 42

Udda och jämna tal

Ett heltal är antingen jämnt, exempelvis 2, 4, 6 eller udda, exempelvis 1, 3, 5. Ett tal är jämnt om det är delbart med 2 och udda om det inte är delbart med 2. Även negativa heltal är endera jämna, exempelvis -2, -4, -6, eller udda, exempelvis -1, -3, -5. Noll $(0)$ är definierad jämn. Decimaltal kan inte vara udda eller jämna eftersom regler för udda och jämna tal enbart gäller för heltal.

Ett jämnt tal kan också uttryckas $2 \cdot k$, där k = 1, 2, ...:

På samma sätt kan man uttrycka ett udda tal som $2 \cdot k + 1$, där k = 1, 2, ...:

Regler för udda och jämna tal: Addition och subtraktion

Regler för udda och jämna tal: Multiplikation och division

Exempel: Udda och Jämna Tal

x är ett heltal. Bestäm om (2x + 1)2 är udda eller jämnt

Enligt vår definition av udda och jämna tal vet vi att (2x + 1) är udda då x är ett heltal. (2x + 1)2 = (2x + 1) · (2x + 1). Vi har alltså ett udda tal multiplicerat med ett udda tal och då vet vi att produkten är udda.

Svar: (2x + 1)2 är udda.

Motsatta tal och absolutbelopp

tallinje

På vår tallinjen ovan kallas de tal som ligger lika långt ifrån talet 0 (origo) motsatta tal. Motsatta tal på vår tallinje är -3 och 3, -2 och 2, -1 och 1.

Avståndet från ett tal till origo (0) benämns absolutbeloppet. Absolutbeloppet av -3 är alltså 3 och skrivs på följande vis: | -3 | = 3.

Faktorisering

Faktorisering kan hjälpa oss att lösa uppgifter som annars skulle kräva minräknare. Talet 85 $\cdot$ 103 kan vi lösa genom faktorisering: 85 $\cdot$ 103 = 85 (100 + 3) = 85 $\cdot$ 100 + 85 $\cdot$ 3 = 8 500 + 255 = 8 755.

I ekvationer kan vi ibland behöva faktorisera. Exempelvis 4x2 - 8x + 6x3 = 2x(2x - 4 + 3x2)

Exempel: Faktorisering

Beräkna 19 · 24

19 · 24 = 19 (20 + 4) = 19 (10 + 10 + 4) =
190 + 190 + 76 = 456

Svar: 19 · 24 = 456

På varandra följande heltal

Heltal som följer varandra från minsta till största kallas på varandra följande heltal. Exempelvis 1, 2, 3, 4, 5, 6, o.s.v.

På varandra följande udda tal är exempelvis 1, 3, 5, 7, o.s.v. och på varandra följande jämna tal är 0, 2, 4, 6, o.s.v.

På varandra följande heltal förekommer ofta i uppgifter på Högskoleprovet, exempelvis:

Exempel: På varandra följande heltal

Summan av tre på varandra följande udda heltal är 63. Vilka är talen?

Vårt kallar vårt minsta tal 2x + 1, det andra talet 2x + 3 och det tredje talet 2x + 5.
Då är $(2x + 1) + (2x + 3) + (2x + 5) = 63$.

6x + 9 = 63

6x = 63 - 9 = 54.

x = 9 och talen är:

Svar: 19, 21, 23.

Avrundning, huvudräkning och överslagsräkning

Du får inte använda minräknare på Högskoleprovet och därför är det bra om du lär dig att avrunda, huvudräkning och överslagsräkning. Avrundning, huvudräkning och överslagsräkning hjälper oss att beräkna uppgifter och är speciellt viktigt då det är större tal som ska adderas, subtraheras, multipliceras eller divideras. Det finns flera bra strategier för att göra estimat:

Strategier för Avrundning, huvudräkning och överslagsräkning på Högskoleprovet

1. Lär dig att avrunda. Räknar vi med: heltal så är det tiondelssiffran som styr avrundningen: 1,6 $\approx$ 2 och 1,4 $\approx$ 1, för tiotal styr entalssiffran avrundningen: 16 $\approx$ 20 och 14 $\approx$ 10, för hundratal är det tiotalssiffran som styr avrundningen: 116 $\approx$ 120 och 114 $\approx$ 110.
Exempel:Avrunda 487 + 233487 + 233 $\approx$ 500 + 200 = 700

2. Studera svarsalternativen: Om det är stor skillnad vet vi att vi inte behöver vara lika exakta i avrundningen, vilket vi behöver om skillnaden är mindre.

3. Faktorisera. Faktorisering kan göras inte bara vid multiplikation, utan även vid de andra räknesätten.
Exempel 1:Beräkna 567 + 432567 + 432 = 567 + (400 + 30 + 2) =
= 967 + 30 + 2 = 997 + 2 = 999
Exempel 2:Beräkna 1567 - 8631567 - 863 = (1000 + 500 + 60 + 7) - (800 + 60 + 3) =
= (1000 + 500 - 800) + (60 - 60) + (7 - 3) =
= 700 + 4 = 704

4. Använd komplementräkning. Komplementet är differensen mellan ett större tal och orginaltalet, exempelvis 67:33 (67 + 33 = 100), 42:58, 37:63, osv.
Exempel:Beräkna 721 - 387. Komplementet av 87 är 13, så vi ersätter 387 med (400 - 13):
721 - 387 = 721 - (400 - 13) = 721 - 400 + 13 = 321 + 13 = 334

5. Estimera kvadraten av ett tal. En kvadrat av ett tal kan skrivas x2 = (x + d)(x - d) + d2 där x är talet i kvadrat och d är differensen.
Exempel:Beräkna 572572 = (57 + 3)(57 - 3) + 32 = 60 · 54 + 9 =
=60(50 + 4) + 9 = 3000 + 240 + 9 = 3249

6. Förenkla talet så mycket som möjligt.
Exempel:Beräkna $\frac{1735}{5}$$\frac{1735}{5} = \frac{2 \cdot 1735}{2 \cdot 5} = \frac{3506}{10} = \frac{3500}{10}+\frac{6}{10}$ = 350,6

7. Prova delbarhet. I kapitlet Bråk och decimaler går vi igenom sätt att snabbt kunna besvara om ett tal är jämnt delbart med ett annat tal.
Exempel:Är talet 3123 delbart med 3?Talet 3123 är delbart med 3 eftersom 3 + 1 + 2 + 3 = 9 vilket är delbart med 3.

8. Tricks för procent och bråk. Procent och bråk är i själva verket multiplikationer och då spelar ordningen av faktorer ingen roll.
Exempel 1:Beräkna 36% av 25 36% av 25 = 25% av 36 = $\frac14\cdot$ 36 = 9
Exempel 2:Beräkna 16% av 75 16% av 75 = 75% av 16 = $\frac34\cdot$ 16 = 12

9. Utnyttja de rötter du kan för att lösa uppgifter med andra rötter.
Exempel: Beräkna ett närmevärde till $\sqrt{13}$ $\sqrt{13}$ är större än $\sqrt{9}$ = 3 och mindre än $\sqrt{16}$ = 4. 13 ligger ganska nära mitten av 9 och 16, men något närmare 16. Vi provar 3,6 och beräknar 3,62 = 12,96. Dvs. $\sqrt{13}\approx$ 3,6.

10. Beräkna större rötter genom primtalsfaktorisering.
Exempel:Beräkna $\sqrt{1746}$Vi primtalsfaktoriserar 1746 i 2 · 2 · 3 · 3 · 7 · 7
$\Rightarrow$ $\sqrt{1764} =\sqrt{2\cdot2}\cdot\sqrt{3\cdot3}\cdot\sqrt{7\cdot7}=$
$=\sqrt4\cdot\sqrt9\cdot\sqrt{49}=2\cdot3\cdot7$ = 42

11. Lär dig närmevärdet för vissa ofta återkommande tal för att spara tid.
Exempel rötter: $\sqrt 2 \approx 1,41$  $\sqrt 3 \approx 1,73$  $\sqrt 5 \approx 2,23$  $\sqrt {10} \approx 3,16$
Exempel bråk: $\frac13 \approx 0,33$  $\frac16 \approx 0,17$  $\frac17 \approx 0,14$  $\frac19 \approx 0,11$
Exempel pi: $\pi \approx \frac{22}{7} \approx 3,14$
Exempel övrigt: 1 m/s = 3,6 km/h  1 km/h $\approx$ 0,28 m/s

Exempel: Avrundning

Avrunda följande tal:

a. 1,49 till närmaste heltal
b. 15 till närmaste tiotal
c. 150,01 till närmaste hundratal

a. För att avrunda talet 1,49 till närmaste heltal studerar vi tiondelssiffran som är 4. Enligt våra regler ska då talet avrundas nedåt. Dvs, 1,49 avrundas till 1.
b. 15 avrundas till 20, eftersom entalet styr avrundningen och talet 5 till 9 avrundas uppåt.
c. 150,01 avrundas till 200, då tiotalet styr avrundningen och talet 5 till 9 avrundas uppåt.

Svar: a. 1, b. 20, c. 200

Värdesiffror

Vid avrundning kan det vara viktigt att hålla sig till värdesiffror. Om vi exempelvis ska avrunda $\pi$ till tre värdesiffror så får vi 3,14. Siffrorna ett till nio är alltid värdesiffror. Vad gäller talet noll så följer det vissa regler:

Vid potensräkning så räknas inte basen eller exponenten som värdesiffror, exempelvis så har talet 1,4 $\cdot$ 103 två värdesiffror.

Då vi beräknar ett tal, exempelvis 3,14 $\cdot$ 2 så är det talet med minst antal värdesiffror som bestämmer hur vi formulerar vårt svar. Om vi ombeds avrunda vårt svar till gällande regler för värdesiffror så svarar vi att 3,14 $\cdot$ 2 = 6 eftersom talet 2 enbart har en värdesiffra.

Talbas och talsystem

Vårt talsystem är ett sk. positionssystem där varje siffra har ett visst värde beroende på sin position, dvs var den är placerad i talet. Exempel: I talet 1 74910 så är: Om vi byter bas till fem, dvs 1 7495 får vi ett helt annat tal: För att kunna jämföra tal med två olika baser måste vi därför alltid räkna om de båda talen till samma bas.
Exempel: Talbas och talsystem

Skriv talet 8185 med basen 10.

8185 =

200 + 5 + 8 = 213

Svar: 8185 = 21310