Räkneregler

De fyra räknesätten

De fyra räknesätten är:

1. Addition som skrivs med plustecken +
   term + term = summa.
2. Subtraktion skrivs med minustecken $-$
   term $-$ term = differens.
3. Multiplikation skrivs med gångertecken eller multiplikationstecken ·
   faktor · faktor = produkt.
4. Division skrivs med bråkstreck
   $\frac{täljare}{nämnare}$ = kvot

Prioriteringsregler, räkneordning

Då vi beräknar ett uttryck gör vi det enligt en viss ordning (prioritet) enligt följande:

1. Parenteser
2. Potenser
3. Multiplikation och division
4. Addition och subtraktion

Jämna och udda tal

Ett heltal är antingen jämnt, exempelvis 2, 4, 6 eller udda, exempelvis 1, 3, 5. Ett tal är jämnt om det är delbart med 2 och udda om det inte är delbart med 2.

Ett jämnt tal kan också uttryckas 2 · k, där k = 1, 2, ... Dvs 2 · 1 = 2, 2 · 2 = 4, 2 · 3 = 6, osv. På samma sätt kan man uttrycka ett udda tal som 2 · k + 1. Dvs 2 ·1 + 1 = 3, 2 · 2 + 1 = 5, 2 · 3 + 1 = 7, osv.

Regler för udda och jämna tal: Addition och subtraktion

• jämn ± jämn = jämn, ex. 4 + 4 = 8, 4 - 4 = 0
• jämn ± udda = udda, 4 + 3 = 7, 4 - 3 = 1
• udda ± udda = jämn, 3 + 3 = 6, 3 - 3 = 0

Regler för udda och jämna tal: Multiplikation

• jämn · jämn = jämn, ex. 4 · 4 = 16
• jämn · udda = jämn, 4 · 3 = 12
• udda · udda = udda, 3 · 3 = 9

Motsatta tal och absolutbelopp

På vår tallinjen ovan kallas de tal som ligger lika långt ifrån talet 0 (origo) motsatta tal. Motsatta tal på vår tallinje är -3 och 3, -2 och 2, -1 och 1.

Avståndet från ett tal till origo (0) benämns absolutbeloppet. Absolutbeloppet av -3 är alltså 3 och skrivs på följande vis: | -3 | = 3.

Faktorisering

Faktorisering kan hjälpa oss att lösa uppgifter som annars skulle kräva minräknare. Talet 85 · 103 kan vi lösa genom faktorisering: 85 · 103 = 85 (100 + 3) = 85 · 100 + 85 · 3 = 8 500 + 255 = 8 755.

I ekvationer kan vi ibland behöva faktorisera. Exempelvis 4x² - 8x + 6x³ = 2x(2x - 4 + 3x)

Avrundning och överslagsräkning

Oftast står det angivet i uppgiften om avrundning ska ske och i så fall hur. Räknar vi med:

• heltal är det tiondelssiffran som styr avrundningen.
• tiotal är det entalssifran som styr avrduningen.
• hundratal är det tiotalssiffran som styr avrduningen.
• osv.

Det tal som styr avrundningen, exempelvis tiondelssifran vid avrundning av ett heltal, gör det enligt två regler.

• Om tiondelssiffran är lika med 1 till 4 så avrundas talet nedåt, exempelvis 1,1 avrundas till 1.
• Om tiondelssifran är lika med 5 till 9 så avrundas talet uppåt, exempelvis 1,6 avrundas till 2.

Värdesiffror

Vid avrundning kan det vara viktigt att hålla sig till värdesiffror. Om vi exempelvis ska avrunda $\pi$ till tre värdesiffror så får vi 3,14. Siffrorna ett till nio är alltid värdesiffror. Vad gäller talet noll så följer det vissa regler:

• Nollor inuti ett tal räknas som värdesiffror, ex. talet 102 har tre värdesiffror.
• Nollor i början av ett tal är inte värdesiffror, ex. talet 0,021 har två värdesiffror.
• Nollor i slutet av ett tal med decimaler räknas som värdesiffror, ex. talet 0,100 har tre värdesiffror.
• Nollor i slutet av ett heltal kan vara värdesiffror, det varierar från fall till fall, ex. talet 100 kan ha en, två eller tre värdesiffror.

Vid potensräkning så räknas inte basen eller exponenten som värdesiffror, exempelvis så har talet 1,4 · 10³ två värdesiffror.

Då vi beräknar ett tal, exempelvis 3,14 · 2 så är det talet med minst antal värdesiffror som bestämmer hur vi formulerar vårt svar. Om vi ombeds avrunda vårt svar till gällande regler för värdesiffror så svarar vi att 3,14 · 2 = 6 eftersom talet 2 enbart har en värdesiffra.

Talbas och talsystem

Vårt talsystem är ett sk. positionssystem där varje siffra har ett visst värde beroende på sin position, dvs var den är placerad i talet. Exempel: I talet 1 749₁₀ så är:

• Ettan en tusentalssiffra = 10³
• sjuan en hundratalssiffra = 10²
• fyran en tiotalssiffra = 10¹
• och nian en entalssiffra = 10⁰.

Om vi byter bas till fem, dvs 1 749₅ får vi ett helt annat tal:

• Ettan är en etthundratjugofemtalssiffra = 5³
• sjuan en tjugofemtalssiffra = 5²
• fyran en femtalssiffra = 5¹
• nian är forfarande en entalssiffra = 5⁰.

För att kunna jämföra tal med två olika baser måste vi därför alltid räkna om de båda talen till samma bas.