HÖGSKOLEPROVET
Beräkna 15 + 52 - 3 $\cdot$ 2 + (7 + 3) - $\frac63$
Vi följer prioriteringsreglerna:
15 + 52 - 3 $\cdot$ 2 + (7 + 3) - $\frac63$ =
15 + 52 - 3 $\cdot$ 2 + (10) - $\frac63$ =
15 + 25 - 3 $\cdot$ 2 + 10 - $\frac63$ =
15 + 25 - 6 + 10 - 2 =
50 - 8 = 42
Ett heltal är antingen jämnt, exempelvis 2, 4, 6 eller udda, exempelvis 1, 3, 5. Ett tal är jämnt om det är delbart med 2 och udda om det inte är delbart med 2. Även negativa heltal är endera jämna, exempelvis -2, -4, -6, eller udda, exempelvis -1, -3, -5. Noll $(0)$ är definierad jämn. Decimaltal kan inte vara udda eller jämna eftersom regler för udda och jämna tal enbart gäller för heltal.
Ett jämnt tal kan också uttryckas $2 \cdot k$, där k = 1, 2, ...:
På samma sätt kan man uttrycka ett udda tal som $2 \cdot k + 1$, där k = 1, 2, ...:
x är ett heltal. Bestäm om (2x + 1)2 är udda eller jämnt
Enligt vår definition av udda och jämna tal vet vi att (2x + 1) är udda då x är ett heltal. (2x + 1)2 = (2x + 1) · (2x + 1). Vi har alltså ett udda tal multiplicerat med ett udda tal och då vet vi att produkten är udda.
Svar: (2x + 1)2 är udda.
På vår tallinjen ovan kallas de tal som ligger lika långt ifrån talet 0 (origo) motsatta tal. Motsatta tal på vår tallinje är -3 och 3, -2 och 2, -1 och 1.
Avståndet från ett tal till origo (0) benämns absolutbeloppet. Absolutbeloppet av -3 är alltså 3 och skrivs på följande vis: | -3 | = 3.Faktorisering kan hjälpa oss att lösa uppgifter som annars skulle kräva minräknare. Talet 85 $\cdot$ 103 kan vi lösa genom faktorisering: 85 $\cdot$ 103 = 85 (100 + 3) = 85 $\cdot$ 100 + 85 $\cdot$ 3 = 8 500 + 255 = 8 755.
I ekvationer kan vi ibland behöva faktorisera. Exempelvis 4x2 - 8x + 6x3 = 2x(2x - 4 + 3x2)
Beräkna 19 · 24
19 · 24 = 19 (20 + 4) = 19 (10 + 10 + 4) =
190 + 190 + 76 = 456
Heltal som följer varandra från minsta till största kallas på varandra följande heltal. Exempelvis 1, 2, 3, 4, 5, 6, o.s.v.
På varandra följande udda tal är exempelvis 1, 3, 5, 7, o.s.v. och på varandra följande jämna tal är 0, 2, 4, 6, o.s.v.
På varandra följande heltal förekommer ofta i uppgifter på Högskoleprovet, exempelvis:
Summan av tre på varandra följande udda heltal är 63. Vilka är talen?
Vårt kallar vårt minsta tal 2x + 1, det andra talet 2x + 3 och det tredje talet 2x + 5.
Då är $(2x + 1) + (2x + 3) + (2x + 5) = 63$.
6x + 9 = 63
6x = 63 - 9 = 54.
x = 9 och talen är:
Du får inte använda minräknare på Högskoleprovet och därför är det bra om du lär dig att avrunda, huvudräkning och överslagsräkning. Avrundning, huvudräkning och överslagsräkning hjälper oss att beräkna uppgifter och är speciellt viktigt då det är större tal som ska adderas, subtraheras, multipliceras eller divideras. Det finns flera bra strategier för att göra estimat:
1. Lär dig att avrunda. Räknar vi med: heltal så är det tiondelssiffran som styr avrundningen: 1,6 $\approx$ 2 och 1,4 $\approx$ 1, för tiotal styr entalssiffran avrundningen: 16 $\approx$ 20 och 14 $\approx$ 10, för hundratal är det tiotalssiffran som styr avrundningen: 116 $\approx$ 120 och 114 $\approx$ 110.
Exempel:Avrunda 487 + 233487 + 233 $\approx$ 500 + 200 = 700
2. Studera svarsalternativen: Om det är stor skillnad vet vi att vi inte behöver vara lika exakta i avrundningen, vilket vi behöver om skillnaden är mindre.
3. Faktorisera. Faktorisering kan göras inte bara vid multiplikation, utan även vid de andra räknesätten.
Exempel 1:Beräkna 567 + 432567 + 432 = 567 + (400 + 30 + 2) =
= 967 + 30 + 2 = 997 + 2 = 999
Exempel 2:Beräkna 1567 - 8631567 - 863 = (1000 + 500 + 60 + 7) - (800 + 60 + 3) =
= (1000 + 500 - 800) + (60 - 60) + (7 - 3) =
= 700 + 4 = 704
4. Använd komplementräkning. Komplementet är differensen mellan ett större tal och orginaltalet, exempelvis 67:33 (67 + 33 = 100), 42:58, 37:63, osv.
Exempel:Beräkna 721 - 387. Komplementet av 87 är 13, så vi ersätter 387 med (400 - 13):
721 - 387 = 721 - (400 - 13) = 721 - 400 + 13 = 321 + 13 = 334
5. Estimera kvadraten av ett tal. En kvadrat av ett tal kan skrivas x2 = (x + d)(x - d) + d2 där x är talet i kvadrat och d är differensen.
Exempel:Beräkna 572572 = (57 + 3)(57 - 3) + 32 = 60 · 54 + 9 =
=60(50 + 4) + 9 = 3000 + 240 + 9 = 3249
6. Förenkla talet så mycket som möjligt.
Exempel:Beräkna $\frac{1735}{5}$$\frac{1735}{5} = \frac{2 \cdot 1735}{2 \cdot 5} = \frac{3506}{10} = \frac{3500}{10}+\frac{6}{10}$ = 350,6
7. Prova delbarhet. I kapitlet Bråk och decimaler går vi igenom sätt att snabbt kunna besvara om ett tal är jämnt delbart med ett annat tal.
Exempel:Är talet 3123 delbart med 3?Talet 3123 är delbart med 3 eftersom 3 + 1 + 2 + 3 = 9 vilket är delbart med 3.
8. Tricks för procent och bråk. Procent och bråk är i själva verket multiplikationer och då spelar ordningen av faktorer ingen roll.
Exempel 1:Beräkna 36% av 25 36% av 25 = 25% av 36 = $\frac14\cdot$ 36 = 9
Exempel 2:Beräkna 16% av 75 16% av 75 = 75% av 16 = $\frac34\cdot$ 16 = 12
9. Utnyttja de rötter du kan för att lösa uppgifter med andra rötter.
Exempel: Beräkna ett närmevärde till $\sqrt{13}$ $\sqrt{13}$ är större än $\sqrt{9}$ = 3 och mindre än $\sqrt{16}$ = 4. 13 ligger ganska nära mitten av 9 och 16, men något närmare 16. Vi provar 3,6 och beräknar 3,62 = 12,96. Dvs. $\sqrt{13}\approx$ 3,6.
10. Beräkna större rötter genom primtalsfaktorisering.
Exempel:Beräkna $\sqrt{1746}$Vi primtalsfaktoriserar 1746 i 2 · 2 · 3 · 3 · 7 · 7
$\Rightarrow$ $\sqrt{1764} =\sqrt{2\cdot2}\cdot\sqrt{3\cdot3}\cdot\sqrt{7\cdot7}=$
$=\sqrt4\cdot\sqrt9\cdot\sqrt{49}=2\cdot3\cdot7$ = 42
11. Lär dig närmevärdet för vissa ofta återkommande tal för att spara tid.
Exempel rötter: $\sqrt 2 \approx 1,41$ $\sqrt 3 \approx 1,73$ $\sqrt 5 \approx 2,23$ $\sqrt {10} \approx 3,16$
Exempel bråk: $\frac13 \approx 0,33$ $\frac16 \approx 0,17$ $\frac17 \approx 0,14$ $\frac19 \approx 0,11$
Exempel pi: $\pi \approx \frac{22}{7} \approx 3,14$
Exempel övrigt: 1 m/s = 3,6 km/h 1 km/h $\approx$ 0,28 m/s
Avrunda följande tal:
a. 1,49 till närmaste heltal
b. 15 till närmaste tiotal
c. 150,01 till närmaste hundratal
a. För att avrunda talet 1,49 till närmaste heltal studerar vi tiondelssiffran som är 4. Enligt våra regler ska då talet avrundas nedåt. Dvs, 1,49 avrundas till 1.
b. 15 avrundas till 20, eftersom entalet styr avrundningen och talet 5 till 9 avrundas uppåt.
c. 150,01 avrundas till 200, då tiotalet styr avrundningen och talet 5 till 9 avrundas uppåt.
Vid avrundning kan det vara viktigt att hålla sig till värdesiffror. Om vi exempelvis ska avrunda $\pi$ till tre värdesiffror så får vi 3,14. Siffrorna ett till nio är alltid värdesiffror. Vad gäller talet noll så följer det vissa regler:
Vid potensräkning så räknas inte basen eller exponenten som värdesiffror, exempelvis så har talet 1,4 $\cdot$ 103 två värdesiffror.
Då vi beräknar ett tal, exempelvis 3,14 $\cdot$ 2 så är det talet med minst antal värdesiffror som bestämmer hur vi formulerar vårt svar. Om vi ombeds avrunda vårt svar till gällande regler för värdesiffror så svarar vi att 3,14 $\cdot$ 2 = 6 eftersom talet 2 enbart har en värdesiffra.
Skriv talet 8185 med basen 10.
8185 =