Medelvärde, median, typvärde och variationsbredd på Högskoleprovet

Sammanfattning Medelvärde, median, typvärde och variationsbredd på Högskoleprovet

Medelvärde = $\frac{\text{Summan av värdena}}{\text{Antal värden}}$
Medianen av udda antal tal:

Det mittersta talet om de ordnas i storleksordning.

Medianen av ett jämnt antal tal:

Medelvärdet av de två mittersta talen om de ordnas i storleksordning.

Typvärde = Det tal som förekommer flest gånger.
Variationsbredd (Vb) = Maxvärdet - Minvärdet

Medelvärde

Ett medelvärde är ett genomsnittligt värde av en serie med sifferdata. $$medelvärde = \frac{summan\;av\; värdena}{antal \, värden}$$

Median

Ibland är medelvärdet ett dåligt mått och den sk. medianen fungerar bättre. En median är det värde för ett ordnat datamaterial som delar materialet i två lika stora delar.

Medianen av ett udda antal tal =
Det mittersta talet om de ordnas i storleksordning.

Medianen av ett jämnt antal tal =
Medelvärdet av de två mittersta talen om de ordnas i storleksordning.

Typvärde

På samma sätt som medelvärde och median är typvärde också ett sätt att beskriva en serie med tal. Typvärdet är det värde som förekommer flest gånger i dataserien.

Typvärde = Det värde som förekommer flest gånger

Variationsbredd

Variationsbredd (Vb) är ett mått som ger oss en uppfattning om hur stora skillnader det är i vårt informationsmaterial.

Variationsbredd (Vb) = Maxvärdet - Minvärdet

Exempel: Medelvärde, Median, Typvärde och Variationsbredd

Kalle mätte nederbörden regn under en vecka. Bestäm medelvärdet, medianen, typvärdet och variationsbredden av nederbörd per dag.

Dag	Nederbörd
Måndag	6 mm
Tisdag	17 mm
Onsdag	6 mm
Torsdag	6 mm
Fredag	2 mm
Lördag	7 mm
Söndag	12 mm

Medelvärde = $\frac{summan\;av\; värdena}{antal \, värden}=$
$=\large{\frac{(6+17+6+6+2+7+12)\; mm}{7\;dagar}=\frac{56}{7}=}$ 8 mm.
För att bestämma medianen behöver vi sortera våra värden enligt storleksordning:
{2, 5, 6, 6, 6, 12, 17}
Medianen = Det mittersta av talen (tal nummer 4 i serien) = 6 mm.
Typvärdet är det värde som förekommer flest gånger, dvs 6 mm (vid tre tillfällen).
Variationsbredden = Maxvärdet - Minvärdet = (17 - 2) mm = 15 mm.

Svar: Medelvärdet = 8 mm, medianen = 6 mm, typvärdet = 6 mm och variationsbredden = 15 mm.

Exempel: Medelvärde, Median, Typvärde och Variationsbredd 2

På vårterminen hade klassen fem prov. Medelvärdet på de tre första proven var 70 poäng och på alla fem proven 80 poäng. Vad var medelvärdet på prov fyra och fem?

medelvärde

Vi kallar medelvärdet på proven p1, p2, p3, p4 och p5. Vi söker medelvärdet av prov fyra och fem, dvs $\frac{p4+p5}{2}$

Medelvärdet på de tre första proven kan vi skriva $\frac{p1+p2+p3}{3}=70$ och medelvärdet på alla fem proven $\frac{p1+p2+p3+p4+p5}{5}=80$

Därmed kan vi skriva $\frac{p4+p5}{2}=\frac{5\cdot 80 - 3\cdot70}{2}=\frac{190}{2}$ = 95 p.

Svar: Medelvärdet på prov fyra och fem är 95 p.

Exempel: Medelvärde, Median, Typvärde och Variationsbredd 3

En klass med x elever fick medelvärdet 20 p. på ett prov och en klass med y elever fick 28 p på samma prov. Tillsammans fick de två klasserna provmedelvärdet 22 p. Vad är $\frac{x}{y}$?

medelvärde2

Vi kallar summan av klassernas provresultat A respektive B.

I texten får vi tre ekvationer:

$\frac{A}{x}=20$ p.
$\frac{B}{y}=28$ p.
$\frac{A+B}{x+y}=22$ p.

Ekvation 1 ger A = 20x och ekvation 2 ger B = 28y

Ekvation 1 och 2 insatt i 3 ger: $\frac{20x + 28y}{x+y}=22$
$20x + 28y = 22x + 22y$
$6y=2x \Rightarrow \frac{x}{y}=3$

Svar: $\frac{x}{y}=3$

Exempel: Medelvärde, Median, Typvärde och Variationsbredd 4

Medelvärdet av fyra tal är 14 med variationsbredden 20. Det största talet tas bort. Variationsbredden är nu noll. Vilket tal togs bort?

Variationsbredden noll säger oss att talen som är kvar är lika stora. Vi kallar dessa tre tal x och talet som togs bort y, vilket ger oss två ekvationer:

$\frac{x+y}{4}=14$
$y-\frac{x}{3}=20$

Ekvation 1: $x+y=4\cdot 14=56 \Rightarrow x = 56-y$ insatt i ekvation 2:

$y-\frac{56-y}{3}=20$

$3y-56+y=60$

$4y=60+56=116 \Rightarrow y = \frac{116}{4}=29$

Svar: Talet 29 togs bort.

medelvärde4