HÖGSKOLEPROVET
Ekvationer med enbart en obekant löser vi genom att utföra räkneoperationer på båda leden samtidigt. Steg för steg förenklar vi ekvationen till att vi får den obekanta ensamt i det ena ledet.
3x - 7 = 2. Bestäm x.
Vi börjar med att addera 7 i båda leden:Förstagradsekvationer med fler än en obekanta löser vi med någon av följande tre metoder:
Med denna metod ritar vi linjerna av de två ekvationerna i syfte att bestämma var de möts (skär varandra). Denna punkt kallar vi skärningsprunkt. Skärningspunktens x- respektive y-värde ger oss lösningen på ekvationerna.
y = 2x - 3 och y = x - 2. Bestäm x och y.
Vi ritar vår två ekvationer i en graf enligt nedan. Linjernas skärningspunkt ger oss svaret på lösningen.
Med substitutionsmetoden löser vi ut en av våra obekanta ur en ekvation och ersätter det uttryck vi får fram i den andra ekvationen.
Bestäm x och y med hjälp av de två ekvationerna nedan:
Ekvation 1: y - 4 = 2x vilket ger att y = 2x + 4
Ekvation 2: Vi ersätter y med 2x + 4:
x + (2x + 4) = 4x + 2
vilket ger 4 - 2 = 4 x - 3x och x = 2
x = 2 insatt i ekvation 1 ger: y = 2 · 2 + 4 = 8.
Additionsmetoden innebär att vi adderar ekvationerna så att någon av de obekanta försvinner. Ibland behöver vi multiplicera ekvationerna med ett tal, om det inte är så att vi kan summera direkt.
Bestäm x och y med hjälp av de två ekvationerna nedan:
Ekvation 1 + Ekvation 2 ger:
2y - 8 + (y + 4) = -4x + (4x + 2)
3y - 4 = 2
3y = 6
vilket ger att y = 2.
Ekvation 1: y = 2 insatt i ekvation 1 ger:
2 · 2 - 8 = -4x vilket ger 4 - 8 = -4x och 4x = 4 dvs x = 1.
Villkoren för att en ekvation ska vara lösbar är:
Bestäm x och y där $y = 2x - 2$ och $x =\frac{y}{2}+1$
Vi har två obekanta, x och y, och två ekvationer så det borde gå att lösa x och y. Vi provar med substitutionsmetoden:
Kalla ekvationerna 1 och 2:
Genom substitutionsmetoden får vi att y = y och därmed är inte uppgiften i exemplet lösbar.
Villkoret att vi har lika många obekanta (x och y) som ekvationer (1 och 2) är uppfyllt, men ekvationerna är inte linjärt oberoende eftersom vi kan uttrycka ekvation 1 som ekvation 2 (och vice-versa).
Det här ser vi ännu tydligare om vi i ekvation 2 först multiplicerar vänsterledet och högerledet med 2 och därefter flyttar konstanten till vänsterledet:
$x =\frac{y}{2}+1$ Multiplicera båda led med 2:
$2x = y+2$ Flytta konstanten 2 till vänsterledet:
$y=2x-2$ Vilket är samma sak som ekvation 1.