Linjära ekvationer (Förstagradsekvationer)

Sammanfattning

Linjära ekvationer med en obekant löser vi genom att successivt utföra räkneoperationer på båda leden samtidigt till vi får den obekanta ensamt i det ena ledet.
Förstagradsekvationer med fler än en obekanta löser vi med grafisk lösning, substitutionsmetoden eller additionsmetoden.
Grafisk lösning får vi om vi ritar kurvorna av våra ekvationer i ett koordinatsystem. Kurvornas skärningspunkt är lösningen till ekvationssystemet.
Med substitutionsmetoden ersätter vi en av de obekanta med ett uttryck av den andra obekanta.
Med additionsmetoden adderas ekvationerna så att någon av de obekanta försvinner.
Ett ekvationssystems lösbarhet beror på

Lika många ekvationer som obekanta.
Ekvationerna är linjärt oberoende.

Ekvationer med enbart en obekant

Ekvationer med enbart en obekant löser vi genom att utföra räkneoperationer på båda leden samtidigt. Steg för steg förenklar vi ekvationen till att vi får den obekanta ensamt i det ena ledet.

Exempel: Ekvationslösning med en obekant

3x - 7 = 2. Bestäm x.

Vi börjar med att addera 7 i båda leden:
3x - 7 + 7 = 2 + 7
3x = 9
Därefter dividerar vi båda led med 3:
$\frac{3x}{3}=\frac93$
x = 3
Svar: x = 3

Ekvationer med fler obekanta

Förstagradsekvationer med fler än en obekanta löser vi med någon av följande tre metoder:

Grafisk lösning
Substitutionsmetoen
Additionsmetoden

Att lära sig att lösa linjära ekvationer med de olika metoderna kan spara tid på Högskoleprovet.

Grafisk lösning

Med denna metod ritar vi linjerna av de två ekvationerna i syfte att bestämma var de möts (skär varandra). Denna punkt kallar vi skärningsprunkt. Skärningspunktens x- respektive y-värde ger oss lösningen på ekvationerna.

Exempel: Grafisk lösning

y = 2x - 3 och y = x - 2. Bestäm x och y.

Vi ritar vår två ekvationer i en graf enligt nedan. Linjernas skärningspunkt ger oss svaret på lösningen.

linjers-skärningspunkt

Svar: x = 1, y = -1.

Substitutionsmetoden

Med substitutionsmetoden löser vi ut en av våra obekanta ur en ekvation och ersätter det uttryck vi får fram i den andra ekvationen.

Exempel: Substitutionsmetoden

Bestäm x och y med hjälp av de två ekvationerna nedan:

y - 4 = 2x
x + y = 4x + 2

Ekvation 1: y - 4 = 2x vilket ger att y = 2x + 4

Ekvation 2: Vi ersätter y med 2x + 4:
x + (2x + 4) = 4x + 2
vilket ger 4 - 2 = 4 x - 3x och x = 2
x = 2 insatt i ekvation 1 ger: y = 2 · 2 + 4 = 8.

Svar: x = 2, y = 8.

Additionsmetoden

Additionsmetoden innebär att vi adderar ekvationerna så att någon av de obekanta försvinner. Ibland behöver vi multiplicera ekvationerna med ett tal, om det inte är så att vi kan summera direkt.

Exempel: Additionsmetoden

Bestäm x och y med hjälp av de två ekvationerna nedan:

2y - 8 = -4x
y + 4 = 4x + 2

Ekvation 1 + Ekvation 2 ger:
2y - 8 + (y + 4) = -4x + (4x + 2)
3y - 4 = 2
3y = 6
vilket ger att y = 2.

Ekvation 1: y = 2 insatt i ekvation 1 ger:
2 · 2 - 8 = -4x vilket ger 4 - 8 = -4x och 4x = 4 dvs x = 1.

Svar: x = 1, y = 2

Ekvationssystems lösbarhet

Villkoren för att en ekvation ska vara lösbar är:

Antalet ekvationer måste vara lika många som antalet obekanta
Ekvationerna måste vara linjärt oberoende

Att en ekvation är linjärt oberoende betyder att den inte går att uttrycka som en av våra andra ekvationer. Vi visar vad vi menar med detta i exemplet nedan.

Exempel: Ekvationers Lösbarhet:

Bestäm x och y där $y = 2x - 2$ och $x =\frac{y}{2}+1$

Vi har två obekanta, x och y, och två ekvationer så det borde gå att lösa x och y. Vi provar med substitutionsmetoden:
Kalla ekvationerna 1 och 2:

$y = 2x - 2$
$x =\frac{y}{2}+1$

Ekvation 2 insatt i ekvation 1 ger:
$y = 2(\frac{y}{2}+1) - 2 = (y + 2) - 2 = y$

Genom substitutionsmetoden får vi att y = y och därmed är inte uppgiften i exemplet lösbar.
Villkoret att vi har lika många obekanta (x och y) som ekvationer (1 och 2) är uppfyllt, men ekvationerna är inte linjärt oberoende eftersom vi kan uttrycka ekvation 1 som ekvation 2 (och vice-versa).

Det här ser vi ännu tydligare om vi i ekvation 2 först multiplicerar vänsterledet och högerledet med 2 och därefter flyttar konstanten till vänsterledet:
$x =\frac{y}{2}+1$ Multiplicera båda led med 2:
$2x = y+2$ Flytta konstanten 2 till vänsterledet:
$y=2x-2$ Vilket är samma sak som ekvation 1.

Svar: Ekvationssystemet är inte linjärt oberoende och därmed inte lösbart.