© AllaRätt.nu
© AllaRätt.nu
HÖGSKOLEPROVET
Fyrhörningar är ett vanligt område på högskoleprovets matematikdel. Här lär du dig de viktigaste egenskaperna hos kvadrat, rektangel, parallellogram, romb och parallelltrapets. Du får formler för area, omkrets, diagonaler och vinklar samt genomgångar av typiska uppgifter från Högskoleprovet.
De fyrhörningar vi går igenom i kapitlet är:
I en kvadrat är alla sidor lika långa och alla vinklar är räta. $$Omkrets = 4s$$ $$Area=s^2$$ $$Diagonalen = \sqrt{2}\cdot s$$ $$Vinkelsumma = 4\cdot90^o=360^o$$
I en rektangel är alla vinklar räta och motstående sidor är parallella och lika långa. Till skillnad från en kvadrat behöver inte alla fyra sidor vara lika långa.
$$Omkrets = 2(a+b)$$ $$Area=ab$$ $$Vinkelsumma = 4\cdot90^o=360^o$$Vad är $\boldsymbol{a?}$
Diagonalen i en kvadrat delar in kvadraten i två rätvinkliga och likbenta trianglar med kateterna lika med kvadratens sida. I rätvinkliga trianglar kan vi använda Pythagoras sats:
$a = \sqrt{10^2+10^2}=\sqrt{2 \cdot 10^2}=10 \sqrt{2}$
Svar: $a = 10 \sqrt{2}$
Diagonalen i en kvadrat är alltid lika med sidan multiplicerat med roten ur två.
I kvadraten $ABCD$ med sidan $x$ är $M$ mittpunkten på sidan $AB,$ $N$ är mittpunkt på sidan $CD$ och $O$ är mittpunkt på sidan $NC.$ Vad är arean $\boldsymbol{AMOD?}$
$AMOD$ kan vi dela upp i en rektangel med sidorna $\frac{x}{2}$ och $x$ och en triangel med basen $\frac{x}{4}$ och höjden $x:$
Arean av rektangeln $= x \cdot \frac{x}{2} = \frac{x^2}{2}$
Arean av triangeln $= \frac{x \cdot \frac{x}{4}}{2}=\frac{x^2}{8}$
Arean av $AMOD = \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{8} = \frac{4x^2+x^2}{8}=\frac{5x^2}{8}$
Svar: Arean $AMOD = \frac{5x^2}{8}$
Två likbenta rätvinkliga trianglar med kateterna $s$ sammanfogas till en kvadrat enligt figuren nedan. Den sammanfogade figuren är en kvadrat med arean $36,cm^2$. Hur lång är längden $\boldsymbol{d}$ i den sammanfogade figuren?
Vi vet att diagonalen $d$ av alla kvadrater kan beräknas som $d=\sqrt{2}\cdot s$. Sidan $s$ beräknar vi som $\sqrt{arean}=\sqrt{36}=6\,cm.$ Vilket ger oss $d=6\sqrt{2}\,cm.$
Svar: $d=6\sqrt{2}\,cm.$
Kvadraten $K_1$ är inskriven i en cirkel med mittpunkten $M$. En annan kvadrat $K_2$ omskriver samma cirkel. De två kvadraternas respektive sida tangerar cirkeln enligt figuren nedan.
Kvantitet I: Arean av $K_2$
Kvantitet II: $2\cdot$ Arean av $K_1$
Vi kallar:
För att beräkna $s_1$ använder vi pythagoras sats: $s_1^2+s_1^2=(2r)^2$
$2s_1^2=4r^2$
$s_1^2=2r^2 \Rightarrow s_1=\sqrt{2}r$
Kvantitet I $=$ Area $K_2=s_2^2=(2r)^2=4r^2$
Kvantitet II $=2s_1^2=2(\sqrt{2}r)^2=4r^2$
Kvantitet I = II.
Svar: Kvantitet I = II
Vad är a?
På samma sätt som i en kvadrat, så delar diagonalen i rektangeln upp den i två rätvinkliga trianglar. Däremot är inte trianglarna likbenta som då vi delar upp kvadraten med en diagonal. Vi använder Pythagoras sats för att beräkna $a:$
$a = \sqrt{5^2+10^2}=\sqrt{125}$
Svar: $a = \sqrt{125}$
I en parallellogram är motstående sidor parallella och lika långa. Vinklarna i en parallellogram kan vara räta, men behöver inte vara det. Om en vinkel i en parallellogram är rät, så är de övriga vinklarna också räta. Motstående vinklar i parallellogrammen är lika stora, dvs vinkeln $A =$ vinkeln $D$ och vinkeln $B =$ vinkeln $C.$
Om två närliggande sidor i en parallellogram är lika långa, så är parallellogrammen liksidig. I en parallellogram halverar diagonalerna varandra. Diagonalen delar en parallellogram i två kongruenta trianglar, dvs motsvarande sidor är lika långa och motsvarande vinklar är lika stora.
En romb är en parallellogram där alla sidor är lika långa
$$Omkrets = 2(a+b)$$ $$Area=bh$$ $$Vinkelsumma = A+B+C+D=360^o$$
$ABCD$ är en parallellogram. Vad är y?
Vinkelsumman i en parallellogram är $360^o$ och motstående vinklar är lika stora vilket ger oss:
$2(4y + 5y) = 360^o$
$18y = 360^o$
$y = \frac{360^o}{18} = 20^o$
Svar: $y = 20^o$
Beräkna omkretsen av parallellogrammen om längden på den horisontella sidan är $\boldsymbol{12\, cm.}$
Omkretsen av en parallellogram är $2(a + b).$ Enligt texten är basen, $b = 12\, cm.$ Vi använder pythagoras sats för att beräkna sidan $a,$ där $a$ utgör hypotenusan av triangeln med basen $(12 - 8) = 4\, cm$ och höjden $3\, cm:$
$a^2=4^2+3^2 \Rightarrow a = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25}=5$
Omkretsen $= 2(a + b) = 2(5 + 12) = 34\, cm.$
Svar: Omkretsen $= 34\, cm.$
Ett parallelltrapets är en fyrhörning där två sidor är parallella. I ett likbent parallelltrapets är vinklarna vid basen lika stora $($vinkeln $A =$ vinkeln $B),$ de icke-parallella sidorna lika stora $($sidan $c =$ sidan $d)$ och motstående vinklar är supplementvinklar $($vinkeln $A +$ vinkeln $D = 180^o$ och vinkeln $B +$ vinkeln $C = 180^o).$
$$Omkrets = a+b+c+d$$ $$Area=\frac{h(a+b)}{2}$$ $$Vinkelsumma = A+B+C+D=360^o$$
I det likbenta parallelltrapetsen är vinkeln $XYZ = 3x + 19$ och vinkeln $WXY = x + 1.$ Beräkna $\boldsymbol{x.}$
Vi vet att i ett likbent parallelltrapets är motstående vinklar supplementvinklar, dvs:
$XYZ + WXY = 180^o$
$(3x + 19) + (x + 1) = 180^o$
$4x + 20 = 180^o$
$x = \frac{180-20}{4} = 40^o$
Svar: $x = 40^o$