Interaktiva Övningsprov Lösningar Gamla Högskoleprov Matematiken på Högskoleprovet Tips och Strategier Om Högskoleprovet Frågor och Svar - FAQ
Förbered dig till Högskoleprovet på AllaRätt.nu och nå Drömutbildningen!
geometri_icon

Fyrhörningar på Högskoleprovet

Sammanfattning Fyrhörningar på Högskoleprovet

Fyrhörningar: Kvadrat, Rektangel, Parallellogram och Parallelltrapets

De fyrhörningar vi går igenom i kapitlet är:

Kvadrat

kvadrat

I en kvadrat är alla sidor lika långa och alla vinklar är räta. $$Omkrets = 4s$$ $$Area=s^2$$ $$Vinkelsumma = 4\cdot90^o=360^o$$

Rektangel

rektangel

På samma sätt som i en kvadrat är alla vinklar i en rektangel räta, motstående sidor är parallella och lika långa men till skillnad från kvadraten är längden och höjden olika. $$Omkrets = 2(b+h)$$ $$Area=bh$$ $$Vinkelsumma = 4\cdot90^o=360^o$$
Exempel: Kvadrat

Vad är a?

kvadrat2

Diagonalen i en kvadrat delar in kvadraten i två rätvinkliga och liksidiga trianglar med kateterna lika med kvadratens sida. I rätvinkliga trianglar kan vi använda Pythagoras sats:

a = $\sqrt{10^2+10^2}=\sqrt{2 \cdot 10^2}=10 \sqrt{2}$

Svar: a = $10 \sqrt{2}$

Exempel: Kvadrat 2

I kvadraten ABCD med sidan x är M mittpunkten på sidan AB, N är mittpunkt på sidan CD och O är mittpunkt på sidan NC. Vad är arean AMOD?

kvadrat3

AMOD kan vi dela upp i en rektangel med sidorna $\frac{x}{2}$ och x och en triangel med basen $\frac{x}{4}$ och höjden x:

Arean av rektangeln = $x \cdot \frac{x}{2} = \frac{x^2}{2}$

Arean av triangeln = $\frac{x \cdot \frac{x}{4}}{2}=\frac{x^2}{8}$

Arean av AMOD = $\frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{8} = \frac{4x^2+x^2}{8}=\frac{5x^2}{8}$

Svar: Arean AMOD = $\frac{5x^2}{8}$

Exempel: Rektangel

Vad är a?

rektangel2

På samma sätt som i en kvadrat, så delar diagonalen i rektangeln upp den i två rätvinkliga trianglar. Däremot är inte trianglarna liksidiga som då vi delar upp kvadraten med en diagonal. Vi använder Pythagoras sats för att beräkna a:

a = $\sqrt{5^2+10^2}=\sqrt{125}$

Svar: a = $\sqrt{125}$

Parallellogram och romb

Parallellogram och romb

I en parallellogram är motstående sidor parallella och lika långa. Vinklarna i en parallellogram kan vara räta, men behöver inte vara det. Om en vinkel i en parallellogram är rät, så är de övriga vinklarna också räta. Motstående vinklar i parallellogrammen är lika stora, dvs vinkeln A = vinkeln D och vinkeln B = vinkeln C.

Om två närliggande sidor i en parallellogram är lika stora, så är parallellogrammen liksidig. I en parallellogram halverar diagonalerna varandra. Diagonalen delar en parallellogram i två kongruenta trianglar, dvs motsvarande sidor är lika långa och motsvarande vinklar är lika långa.

En romb är en parallellogram där fyrhörningens alla sidor har samma längd.

$$Omkrets = 2(a+b)$$ $$Area=bh$$ $$Vinkelsumma = A+B+C+D=360^o$$

Exempel: Vinklar i en Parallellogram

ABCD är en parallellogram. Vad är y?

parallellogram3

Vinkelsumman i en parallellogram är 360° och motstående vinklar är lika stora vilket ger oss:

2(4y + 5y) = 360°

18y = 360°

y = $\frac{360^o}{18}$ = 20°

Svar: y = 20°

Exempel: Omkrets av en Parallellogram

Beräkna omkretsen av parallellogrammen om längden på den horisontella sidan är 12 cm.

parallellogram2

Omkretsen av en parallellogram är 2(a + b). Enligt texten är basen, b = 12 cm. Vi använder pythagoras sats för att beräkna sidan a, där a utgör hypotenusan av triangeln med basen (12 - 8) = 4 cm och höjden 3 cm:
$a^2=4^2+3^2 \Rightarrow b = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25}=5$
Omkretsen = 2(a + b) = 2(5 + 12) = 34 cm

Svar: Omkretsen = 34 cm

Parallelltrapets

parallelltrapets

Ett parallelltrapets är en fyrhörning där två sidor är parallella. I ett likbent trapets är vinklarna vid basen lika stora (vinkeln A = vinkeln B), de icke-parallella sidorna lika stora (sidan c = sidan d) och motstående vinklar är supplementvinklar (vinkeln A + vinkeln D = 180° och vinkeln B + vinkeln C = 180°).

$$Omkrets = a+b+c+d$$ $$Area=\frac{h(a+b)}{2}$$ $$Vinkelsumma = A+B+C+D=360^o$$

Exempel: Likbent Parallelltrapets

I det likbenta parallelltrapetsen är vinkeln XYZ = 3x + 19 och vinkeln WXY = x + 1. Beräkna x.

parallelltrapets2

Vi vet att i ett likbent parallelltrapets är motstående vinklar supplementvinklar, dvs:
XYZ + WXY = 180°
(3x + 19) + (x + 1) = 180°
4x + 20 = 180°
x = $\frac{180-20}{4}$ = 40°

Svar: x = 40°